Lugar Geométrico

Lugar Geométrico
Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.

Mediatriz
Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos.

E cu aci ón d e la med i atri z

Ejemplo: Obtén la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2, 3) y B(4, 1).

Los puntos P(x,y) de la mediatriz cumplen que:dist (P, A) = dist (P, B), es decir:

x  22  y  32



x  42  y  12

Elevamos al cuadrado en los dos miembros y operamos:
x 2  4 x  4  y 2  6y  9  x 2  8 x  16  y 2  2y  1 4 x  4y  4  0  x  y 1 0

Es una recta perpendicular al segmento AB, que pasa por su punto medio.

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Ecuaciones de las bisectrices
La bisectriz de un ángulo es el lugargeométrico de los puntos del plano que equidistan de las rectas que forman el ángulo.

Ejemplo Halla la ecuación de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas r1: x + 3y -1 = 0 y r2: 3x - y + 4 = 0.

Los puntos P(x, y) de las bisectrices cumplen que: dist (P, r1) = dist (P, r2), es decir:
x  3y  1 10  3x  y  4 10

Son dos rectas perpendiculares entre sí, que se cortan en el mismopunto que r1 y r2.

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Cónicas
Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada vértice, a la que corta de modo oblicuo. La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas. El vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.

Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que nopasa por su vértice. Cambiando el ángulo y el lugar de la intersección, podemos crear un círculo, un elipse, una parábola o una hipérbola.

Círculo

Elipse (h)

Parábola (h)

Hipérbola (h)

Elipse (v) Definición: Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono.

Parábola (v)

Hipérbola (v)

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Circunferencia
Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntosdel plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

Si desarrollamos:

y realizamos estos cambios:

Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

Donde el centro es: y el radio cumple la relación:

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Ecuación reducida de la circunferencia Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación quedareducida a:

Ejemplos: 1.- Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

2.- Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.

3.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3). Si sustituimos x e y en la ecuación por las coordenadas de los puntos se obtiene el sistema:

5Intersección de una cónica y una recta
Para hallar los puntos comunes a una cónica y una recta resolveremos el sistema formado por las ecuaciones de ambas. En general se obtiene un ecuación de segundo grado, que tendrá dependiendo del signo del discrimínante, , las siguientes soluciones:

1 Si Δ > 0 Dos soluciones: la recta y la cónica son secantes.

2 Si Δ = 0 Una solución: la recta y la cónica sontangentes.

3 Si Δ < 0 Ninguna solución: la recta y la cónica son exteriores.

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Ejemplo: Calcula la posición relativa de la circunferencia y la recta .

La elipse
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

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Elementos de la elipse
Focos Son los puntos fijos F y F'. Eje focal Es la recta que pasa porlos focos. Eje secundario Es la mediatriz del segmento FF'. Centro Es el punto de intersección de los ejes. Radios vectores Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'. Distancia focal Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

Vértices Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'. Eje mayor Es el segmento...