Lugar Geometrico de las raices

Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica
Facultad de Ingeniería UNAM

Lugar de las raíces

México D.F. a 25 de Septiembre de 2006

Lugar de las raíces

Los polos de lazo abierto de un sistema representan características
propias del mismo, no pueden ser modificados a menos que se modifique
el sistema o se agreguen otros elementos dinámicos.

Lugar de las raícesSistema de primer orden ante una entrada escalón:
Step Response

Respuesta

1.2

1

To: Y(1)

Amplitude

7
s5

From: U(1)

1.4

1.4

0.8

0.6

0.4

0.2

0
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (sec.)

No
cambia
el
tiempo
de
respuesta, solo la
amplitud.

Step Response
From: U(1)

5.6

5

To: Y(1)

4

Amplitude

4

7
s5

6

32

1

0
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (sec.)

Step Response

1.4

From: U(1)

El tiempo de
respuesta cambia,
Solo agregando
otra dinámica.

1.4

To: Y(1)

0.7
Amplitude

1
s2

7
s5

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
0

0.5

1

1.5

Time (sec.)

2

2.5

3

Lugar de las raíces
Por otra parte
Los polos de lazo cerradopueden ser fácilmente modificados sin alterar la
naturaleza del sistema.
¿Porqué modificar los polos de lazo cerrado
Las características de estabilidad de un sistema en lazo cerrado están
íntimamente ligadas con la ubicación de los polos de lazo cerrado
Entonces:
• Un sistema en lazo cerrado puede tener distintos tipos de respuesta de
salida sin alterar su naturaleza.
• Sistemas inestables(estables) pueden llegar a ser estables (inestables)
utilizando realimentación y, en el caso más sencillo, modificando una simple
ganancia.

veamos un ejemplo…

Lugar de las raíces
Sea el sistema de lazo cerrado

R(s)

+

-

K
s ( s  7)

B(s)

C (s)

En lazo cerrado

C (s)
K

R ( s ) s ( s  7)  K
La ecuación característica es

s 2  7s  K  0
En lazo abiertoB( s)
K

E ( s ) s ( s  7)
Polos de lazo abierto:

s  0, s  7

Las raíces de la ecuación característica
son los polos de lazo cerrado (p.l.c)

s12  3.5  12.25  K
y dependen del valor de K

Lugar de las raíces
Para diferentes valores de K:

polos de lazo cerrado

K

s  6.98568

s  0.014314

1

s  6.8541

s  0.1459

10

s  5

s  2

s  3.5s  3.5  j1.5

s  3.5
s  3.5  j1.5

0.1

12.25
14.5

25
112.25

s  3.5  j3.5707 s  3.5  j3.5707
s  3.5  j10

s  3.5  j10

Cada par de polos de lazo cerrado provoca una respuesta de salida diferente

Lugar de las raíces
La ubicación de estas raíces en el plano s

K  112.25

K  0.1

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gráficas

Lugar de las raíces

C (s)
0.1
 2
R( s )s  7 s  0.1

p.l.c

s1  6.98568 s2  0.014314

Lugar de las raíces

C ( s)
1
 2
R( s) s  7 s  1

p.l.c

s1  6.8541

s2  0.01459

Lugar de las raíces

C ( s)
10
 2
R( s ) s  7 s  10

p.l.c

s1  5

s2  2

Lugar de las raíces

C ( s)
12.25
 2
R( s ) s  7 s  12.25

p.l.c

s1  3.5

s2  3.5

Lugar de las raíces

C ( s)
25
2
R( s ) s  7 s  25

p.l.c s1  3.5  j3.5707 s2  3.5  j3.5707

Lugar de las raíces

C ( s)
112.25
 2
R( s ) s  7 s  112.25

p.l.c

s1  3.5  j10

s2  3.5  j10

Lugar de las raíces
Entonces si se evaluara para todos los valores positivos de K se obtendría El
lugar de las raíces de ese sistema en particular. Regresando al ejemplo:

Variando el valor de laganancia K, se tiene
acceso a cualquier
valor de polos de lazo
cerrado (región verdeazul).
Otro valor fuera de esa
región, no es posible
obtenerlo solamente
con el cambio de K

Lugar de las raíces
Definición:
El lugar de las raíces se define como el lugar geométrico de las raíces de la
ecuación de lazo cerrado ( 1+GH(s) ) al variar la ganancia K, o algún otro
parámetro desde cero hasta...