Lugar geometrico de las raices

1 Lugar Geométrico de las Raíces (LGR)
En capítulos anteriores se desmostró la estrecha relación que existe entre la respuesta transitoria de un sistema y la ubicación de las raíces de su ecuación característica en el Plano s. Así mismo, se determinó que la variación de los parámetros físicos de un sistema que logran una modicación de su ecuación característica modican las raíces o polos dedicho sistema, de forma tal que se puede obtener una respuesta particular o deseada. Es por ello que, conocer la ubicación de las raíces en el Plano s ante variaciones de un parámetro, puede representar una herramienta muy útil de análisis y diseño. Cabe destacar que en adelante se realiza el estudio de la respuesta transitoria como una aproximación en la que solamente se toma en consideración laubicación de los polos del sistema, aún cuando la misma tambien depende de sus ceros. Cuando se trata de sistemas de control es sumamente importante conocer la ubicación de las raíces de la ecuación característica del lazo cerrado, lo cual puede conocerse utilizando un método sistemático y sencillo que muestra el movimiento de dichas raíces cuando se modica un parámetro de la ecuación. Dicho métodopermite elaborar lo que se conoce como el lugar geométrico de las raíces (LGR), que nos es otra cosa que las soluciones de la ecuación característica a lazo cerrado cuando se varía un parámetro. A continuación se detallará el método para construir un esbozo o aproximación del lugar geométrico de las raíces y se analizará el cambio que puede suceder en el mismo ante la modicación de la función detransferencia a lazo abierto, lo cual proporciona una fuerte herramienta al diseñador. El lugar geométrico de las raíces exacto puede obtenerse haciendo uso de numerosas herramientas computacionales que proporcionan esa información y que también son de gran utilidad en el diseño de sistemas de control.

1.1.

Construcción del Lugar Geométrico de las Raíces

El método de construcción para ellugar geométrico de las raíces de la ecuación característica a lazo cerrado cuando se varía un parámetro se fundamenta en un esquema de control de retroalimentación simple como el que se muestra en la Fig. 1.1, para el cual la ecuación característica a lazo cerrado es la que indica la Ec. 1.1, cuyas soluciones representan los polos del lazo cerrado.

1 + KG(s)H(s) = 0

(1.1)

1

1 LugarGeométrico de las Raíces (LGR)

Figura 1.1: Esquema de Retroalimentación Simple

El lugar geométrico de las raíces se realiza para variaciones de cuales dichas raíces deben satisfacer la Ec. 1.1. Como dicha ecuación en forma polar como sigue.

K

desde cero hasta innito, para las

s

es una variable compleja, es posible reescribir

|KG(s)H(s)| ∠KG(s)H(s) = −1 + j0

(1.2)

Apartir de allí se pueden identicar dos condiciones que deben cumplirse para satisfacer la ecuación anterior, las cuales son conocidas como la Condición de Módulo y la Condición de Ángulo y se muestran en las Ecs. 1.3 y 1.4, respectivamente.

|KG(s)H(s)| = 1

(1.3)

∠KG(s)H(s) = 1800 ± k3600
donde

(1.4)

k = 0, ±1, ±2, . . . . . .

Si la función de transferencia a lazo abierto sefactoriza en polos y ceros, tal como se muestra en la Ec. 1.5, las condiciones de módulo y de ángulo pueden reescribirse como se muestra en las Ecs. 1.6 y 1.7, respectivamente.



m


(1.5)

(s + zi )    i=1  KG(s)H(s) = K  n    (s + pj )
j=1

   K 

m

 |s + zi |   i=1 =1  |s + pj |
(1.6)

n j=1

m

n

[∠ (s + zi )] −
i=1 i=1

[∠ (s + pj )] = 1800 ± k3600(1.7)

Las dos condiciones anteriores deben cumplirse para cada una de las raíces que forme parte del lugar geométrico, de forma tal que se garantize que cada una de ellas sea solución de la ecuación característica

2

1.1 Construcción del Lugar Geométrico de las Raíces

a lazo cerrado. Gracias a la condición de ángulo se determina la ubicación geométrica de las raíces, es decir, la...