lugar geometrico

Introducción.
La geometría elemental, se llama geometría para distinguirla de la geometría analítica. En esta última por medio de un sistema de coordenadas es posible obtener una correspondencia biunívoca entre puntos y números reales; en este caso los puntos corresponden a elementos de la geometría elemental y los números reales utilizados en el sistema unidimensional o bidimensionalrepresentan la expresión analítica de los puntos. Esto, nos permitirá aplicar los métodos del análisis a la geometría, y de ahí el nombre de la geometría analítica. Al avanzar en nuestro estudio veremos, por ejemplo como puede usarse, ventajosamente, los método algebraicos en la resolución de problemas geométricos .recíprocamente, los métodos de la geometría analítica pueden usarse para obtener unarepresentación geométrica de las ecuaciones y de las relaciones funcionales.
El concepto de sistema coordenado, que caracteriza la geometría analítica fue introducido por primera vez en 1937 por el matemático francés René Descartes (1596-1650). Por esta razón, la geometría analítica se conoce también con el nombre de geometría cartesiana. Por la parte que toma la unificación de las diversas ramas delas matemáticas, la introducción de la geometría analítica representa uno de los adelantos más importantes en el desarrollo de las matemáticas.













Los dos Problemas fundamentales de la geometría analítica son:
1. Dada una ecuación, hallar el lugar geométrico que representa.

2. Dado un lugar geométrico definido por determinadas condiciones, hallar su ecuaciónmatemática.

Lugar geométrico:
El lugar geométrico en el plano es un conjunto de puntos de dicho plano que cumplen con una propiedad determinada, o también, el lugar geométrico, o gráfica, de una ecuación de dos variables, es una línea (recta o curva)que contiene todo los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación dada.
Antes de representar gráficamente el lugar que corresponde a una ecuacióndada, es muy conveniente para determinar su forma, conocer algunas propiedades del lugar en cuestión, por ejemplo, intersección con los ejes, simetrías, campos de variación de las variables.
Intersección con los ejes:
Son las distancias (positivas o negativas) desde el origen hasta los puntos en que la línea corta a los ejes de coordenadas.
Para encontrar la intersección con el eje X se hace Y=0en la ecuación dada y se despeja la variable X. del mismo modo, para determinar la intersección con el eje Y, se hace X = 0 y se despeja Y.
Por ejemplo en la ecuación de la recta Y-X-3 = 0 para determinar sus puntos de corte con el eje X y con el eje Y, se procede de la siguiente manera:
Para determinar el punto de intersección de la recta con el eje X, se hace Y = 0.
Si Y= 0 0- X-3 = 0 -X=3 X= -3 luego las coordenadas del punto de intersección con el eje X son (-3,0).
Para determinar el punto de intersección de la recta con el eje Y, se hace X= 0.
Si X= 0Y-0-3= 0 Y= 3, luego las coordenadas del punto de intersección con el eje Y son (0,3).


Gráfica:







Simetrías:
Dos puntos son simétricos con respecto a una recta si la recta es perpendicular al segmento quelos une en su punto medio, es decir, si la recta es mediatriz del segmento que los une.
1. Simetría con respecto al eje Y:
Si una ecuación no se altera al sustituir X por –X, su representación gráfica, o lugar geométrico, es simétrico con el eje Y. A todo valor de Y en esta ecuación le corresponden dos valores iguales de X en valor absoluto pero de signos contrarios.

Ejemplo: En Y = 2X² + 1, esdecir X = ± .

Determinemos la simetría con respecto al eje Y.
Sustituyendo X por –X en la ecuación se tiene que:
Y = 2(-x)² + 1Y = 2X² + 1, luego la ecuación no sufrió ninguna alteración, lo que nos indica, que la curva o su representación gráfica es simétrica con respecto al eje Y.




X
Y
-2
9
-1
3
0
1
1
3
2
9
Hagamos la representación gráfica:

2. Simetría con...