Lugar geométrico de las raices

Cálculo aplicado II

GUIA DEL ALUMNO
CURSO: Matemáticas Aplicadas
Unidad: Transformada de Laplace
Instrucciones para el alumno:
Lea las siguientes secciones de su material de estudio:
•
•

Transformada de Laplace
Transformada de Laplace Inversa

Después de haber leído detenidamente las secciones y con base en ellos,
desarrolle las siguientes actividades:
PARA REFLEXIONAR
Ustedpuede investigar importancia de la Transformada de Laplace en la
resolución de Ecuaciones Diferenciales, a demás de descubrir el aporte del
Convolución en la resolución de dichas ecuaciones diferenciales. Determine tres
ejemplos de modelos matemáticos ( tales como estudio de vigas, circuitos
eléctricos y Físicos ) donde se utilice la Transformada de Laplace

PARA EJERCITAR
Realice el siguientetrabajo de resolver los problemas pares de las guías de
ejercicio N°4 ( páginas 108,…113) y envíe sus resultados al profesor, vía correo
electrónico.

Transformada de Laplace

85

Cálculo aplicado II

Tema Nº3: Transformada de Laplace
3.1

Introducción
Sea F una función continua para todo t ≥ 0 , si la integral existe,
∞

()

donde f s =

∫e

−st

()

F( t ) d t .Entonces diremos que f s es la Transformada

0

()

de Laplace de la función F t

y la denotaremos por L

tenemos :

L (f)=

∞

∫e

−st

(f )

en consecuencia

F( t ) d t .

0

()

La función F t se llama la transformada inversa de Laplace y se denota

()

()

por L -1 f = F t .

Ejemplos 3.1
a.-

()

Sea F t = 1 , t > 0

( )

L F ( t ) = L (1) =

∞∫e

−st

dt =

0

L (1) =
b.-

()

Sea F t = e

Transformada de Laplace

at

−1 − s t ∞ 1
e
= , si s > 0
0
s
s

1
, si s > 0 ,
s

si s > o
, t>0

86

Cálculo aplicado II

∞

∞

∫e

L ( F ( t )) = L ( e a t ) =

−st

−1
1
e− (a − s) t =
s−a
s−a
0

e at d t =

0

( )

L e at =

1
, si s > a
s−a

Teorema de Linealidad 3.1
Latransformada Laplace es una transformación lineal, es decir:

L ( a F ( t ) + b G ( t )) = a L ( F ( t )) + b L ( G ( t ))
Donde a y b son constantes reales o complejas.
Demostración:
∞

∫e

L ( a F ( t ) + b G ( t )) =

−st

[ aF( t ) + b G( t )] d t

0

∞

=a

∫

e − s t F( t ) d t + b

0

∞

∫e

−st

G( t ) d t

0

( ( ))

=a L F t

( ( ))

+b L G t

Ejemplo3.2

()

( )

(

)

ea t + e− at
Sea F t = cosh at =
2

L cosh ( at )

=

=

Transformada de Laplace

( )

( )

1
1
L eat + L e−at
2
2
s
2

s

− a2

si s > a.

87

Cálculo aplicado II

Tabla de algunas transformadas de Laplace
F(t)

L( F (t))

1

1
s

t

1
s2

t2

2!
s3

tn t

n!
sn+1

e at

1
s−a

cos ( a t )

s
2

s +a2
a

Sen ( a t )

2

s + a2
s

cosh ( a t )

2

s − a2
a

Sinh ( a t )
Transformada de Laplace

s 2 − a2

88

Cálculo aplicado II

Primer Teorema de Traslación 3.2
Si L ( F ( t )) = f ( s ) , donde s > a, entonces :

(

)

L e a tF ( t ) = f ( s − a)
Demostración

( ( ))

()

∞

∫e

Sea f s = L F t =

(

)

f s−a =

∞

∫

−st

F( t ) d t, luego

0

e − (s − a) t F( t ) d t =

0

=

∞

∫e

− st+a t

F( t ) d t

0
∞

∫e

(

0

(

( ))

[ e a t F( t )] d t = L e a tF t

− st

(

)

= L e a tF ( t )

luego se tiene : f s − a

)

Ejemplo 3.3
a.-

Sea f ( s ) = L ( 1 ) =

1
s

⇒

( )

L e at =
b.-

Sea L ( Cos ( w t ) ) =

L(

Transformada de Laplace

1
,
s−a
s

2s + w2

Cos ( w t ) =

(

)

L e a t ⋅1 = f ( s − a) =

1
s−a

si s > a

⇒ L(

Cos ( w t ) = f ( s - a)

s−a
(s − a) 2 + w 2

89

Cálculo aplicado II

Definición 3.1
Se dice que una función F ( t ) es seccionalmente continua en un
intervalo finito

, si la función es continua en una cantidad

finita de subintervalos y además posee límite finito en los puntos...