Lugares Geometricos 1

Lugares
Geom´
etricos

´ s Alfonso Pe
´rez Sa
´ nchez
Jesu

´rida-Venezuela
Me
2001

´Indice general

i

Introducci´
on
En esta monograf´ıa hemos querido tratar un tema geom´etrico, el cual nos ofrece la oportunidad para aplicar muchos de los teoremas de los primeros cursos de Geometr´ıa Euclidiana.
Por esta raz´on, consideramos el presente trabajo como un complemento a esos inicios en el
mundode la Geometr´ıa.
Al mismo tiempo, pensamos que los ejercicios sobre Lugares Geom´etricos contribuyen al
desarrollo de la imaginaci´on y capacidad creativa, durante el bosquejo o “ adivinaci´on ”de
la figura formada por los puntos que verifican las condiciones geom´etricas estipuladas en los
respectivos enunciados.
En todo lo que sigue, la expresi´on Lugar Geom´
etrico ser´a denotada por: L.G.Mientras que, C(O; r) indicar´a la circunferencia de centro el punto O y radio r.
Otras notaciones que usaremos son:
Para la congruencia o “igualdad ” de los tri´angulos ABC y M N P :
ABC ∼
=

M N P.

La semejanza, de los mismos, la escribiremos como:
ABC ∼

M N P.

Un ´angulo como el de la figura ser´a denotado por: AOB.
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A

O

B

Su medida, la indicamos:

AOB.

En cuanto a segmentos y rectas:←→
La recta determinada por los puntos A y B la simbolizaremos: AB.
En tanto que el segmento de extremos A y B, lo identificaremos como AB, llamando
−→
AB a su longitud. Tambi´en, una semirrecta, como la de la figura, la indicaremos: AB.
B
A

Finalmente, en el Ap´endice, presentamos los principales Teoremas citados en los ejemplos
y ejercicios.
P.S. Sugerimos al lector intentar la soluci´on de losejercicios y despu´es, s´ı analizar las
demostraciones dadas. Consideramos importante, el hallazgo de otros caminos, tal vez m´as
sencillos e interesantes, sobre todo, en aquellas partes donde hemos usado Trigonometr´ıa y
Geometr´ıa Anal´ıtica.

2

Cap´ıtulo 1
El m´
etodo de los Lugares Geom´
etricos
El m´
etodo de los Lugares Geom´
etricos.
Consiste en la descripci´on de todo subconjunto de unplano, o del espacio, cuyos puntos
poseen determinada propiedad geom´etrica, vale decir, satisfacen una misma condici´on geom´etrica.
Ejemplos:
a.- El L.G. de todos los puntos de un plano que est´an a una distancia r de un punto
dado, O, de dicho plano.
Se trata de la circunferencia de centro O y radio r : C(O; r).
El L.G. an´alogo, en el espacio, es la esfera de centro O y radio r.

O
r
P

b.- En unplano, el L.G. de los puntos equidistantes de dos puntos, A y B, (de
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dicho plano), es la mediatriz de AB (recta perpendicular a AB y que pasa por
el punto medio de dicho segmento). En el caso del espacio, el L.G. an´alogo es el
plano perpendicular a AB y que pasa por el punto medio del citado segmento.

A

B

A

B

c.- El L.G. de todo los puntos de un plano, equidistantes

de una recta l (dedicho plano), consiste de dos rectas paralelas a l. La situaci´on similar, en el espacio,
determina un cilindro

que tiene como eje a la recta l.

d.- En un plano, el L.G. de los centros de las circunferencias de radio r y que pasan
por un punto P

de dicho plano, es la circunferencia C(P ; r).

4

P

e.- En un plano, consideremos los puntos A, B y P, no alineados. Llamemos C al
conjunto de todoslos segmentos que tienen un extremo en AB, mientras que el otro

extremo es el punto P .
El L.G de los puntos medios de los elementos de C es M N , donde, M es el

punto medio de AP y N es el punto medio de BP .
P

M

N

A

B

f.- En un plano, el L.G, de los centros de todas las circunferencias que pasan por dos
puntos A y B, elegidos en dicho plano, es la mediatriz de AB.
5

A

B

←→
g.- En unplano, dado una recta AB y un punto P, de la misma, el L.G. de los
←→
centros de las circunferencias tangentes a AB, en P, es la recta perpendicular
←→
a AB y que pasa por el punto P (quit´
andole el punto P ).

A

B
P

6

h.- En un plano, dado el ´angulo AOB, el L.G. de los puntos equidistantes de los
−→
−→
lados OA y OB, es la bisectriz del AOB.

B
O
A

i.- En un plano, el L.G. de los...