Lugares geométricos. Cónicos.


Lugares geométricos. Cónicas.
Trabajo de Investigación


























Lázaro García García
10/06/2013

Las cónicas como secciones de una superficie cónica:
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
β < α :Hipérbola
β = α : Parábola
β > α : Elipse
β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse)

Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:
Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan enel vértice.

Cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).


Ecuación de la circunferencia:
Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.



Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

Sidesarrollamos:

y realizamos estos cambios:

Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

Donde el centro es:

y el radio cumple la relación:

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia:
SECANTE: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos; Es cuando la recta y la circunferencia tienen dos puntos comunes, la distancia de la recta al centro de la circunferencia es menor quesu radio.




TANGENTE: Es la recta que toca a la circunferencia en un solo punto; Es cuando la recta y la circunferencia tiene un punto en común.





EXTERIOR: Es cuando la recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común.




Analíticamente podemos identificar su posición de dos maneras:

Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones, que tendrá dossoluciones (se cortan), una (son tangentes) o ninguna (son exteriores).

Comparando la distancia del centro de la circunferencia a la recta con el radio de la circunferencia.

Por ejemplo:







Potencia de un punto a una circunferencia



Se llama potencia del punto respecto a la circunferencia de centro y radio al número



Observa que la potencia de respecto a es el valor numéricode la expresión del lado izquierdo de la ecuación de la circunferencia:



Sea un punto del plano y una circunferencia . Sean úna recta que corta a C en dos puntos: y y sea otra recta que corta a en otros dos puntos: y . Entonces se cumple que:Demostración:
En la siguiente figura se puede observar que los triángulos y son semejantes porque tienen un ángulo común, el ángulo en , y dos ángulos iguales, los ángulos en y en , por ser ángulos inscritos en la circunferencia que abarcan el mismo arco . Por tanto, sus lados son proporcionales:


De donde, multiplicando en cruz:



Para el caso en quel punto P pertenezca a la circunferencia:



Veamos ahora que también es igual a . Para ello vamos a considerar el siguiente gráfico, en el cual hemos tomado una recta r que pase por el centro de C y que la corta en dos puntos A y A', diametralmente opuestos:



Se tiene que:

Si P es exterior:



Porque la potencia de un punto exterior es positiva.

Si P es interior:Porque la potencia de un punto interior es negativa.

Si P pertenece a la circunferencia:



Porque la potencia de un punto de la circunferencia es cero.


Posición relativa de un punto respecto de una circunferencia:

Dada una circunferencia de centro y radio , un punto ,del plano puede ser:

Exterior a la circunferencia: si
Perteneciente a la circunferencia: si
Interior a...