Lugares Geométricos En El Plano.

UNIDAD I 1.1 LUGARES GEOMETRICOS EN EL PLANO. Resolveremos problemas en los que se debe encontrar la ecuación de un conjunto de puntos en el plano que satisfacen ciertas características. 1. Identifica la cónica que representa el conjunto de puntos P ( x , y ) cuya distancia al punto A(1,2) es igual a dos tercios de la distancia del punto P ( x , y ) a la recta l : y = 7 .

d ( P , A) =

2 d(P, l ) 3
2 y−7 3 1

( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 =

4 2 y−7 9

9( x − 1) 2 + 9 y 2 − 36 y + 36 = 4 y 2 − 56 y + 196 9( x − 1) 2 + 5 y 2 + 20 y = 160
9( x − 1) 2 + 5( y 2 + 4 y + 4) = 160 + 20 9( x − 1) 2 + 5( y + 2) 2 = 180

( x − 1) 2 ( y + 2) 2 + =1 20 36

lo que identificamos como una elipse.

2. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se muevede tal manera que se conserva siempre equidistante de los dos puntos A(1,−2) y B (5,4) . Identificar el lugar geométrico.
Denotamos como P ( x , y ) al punto general del lugar geométrico.
d ( P , A) = ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 y d ( P , B ) = ( x − 5) 2 + ( y − 4) 2 Luego igualamos ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = ( x − 5) 2 + ( y − 4) 2 ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = ( x − 5) 2 + ( y − 4) 2 x 2 − 2 x + 1 +y 2 + 4 y + 4 = x 2 − 10 x + 25 + y 2 − 8 y + 16 8 x + 12 y = 36 2x + 3y = 9

1

Corresponde a una recta.

3. Hallar la ecuación de los puntos del plano que están a dos unidades a la izquierda del eje Y
x = −2 es una recta

4. Hallar la ecuación de los puntos del plano cuya distancia al eje Y disminuida en 3 es igual al doble de su distancia al eje X .

x − 3 = 2 y obteniéndose cuatrocasos
x ≥ 0, y ≥ 0 x ≥ 0, y < 0 x ≤ 0, y > 0 x = 2y+3 x = −2 y + 3 − x = 2y+3 x −3 2 3− x y= 2 − x −3 y= 2 x +3 y= 2 y=

x < 0, y < 0 − x = −2 y + 3

Son cuatro segmentos de rectas, de la siguiente forma:

Y

(−3,0)

(0,0)

(3,0)

X

5. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A( 2,4) es siempre igual a su distancia al eje Y aumentada en 3.
d ( P , A) = d ( P , Y) + 3

( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = x + 3 ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = x 2 + 6 x + 9
x 2 − 4 x + 4 + y 2 − 8 y + 16 = x 2 + 6 x + 9 y 2 − 8 y + 16 = 6 x + 4 x + 5

2

x≥0

Hay dos casos

1  5  ( y − 4) 2 = 10 x + 5 = 4  x +  2  2  5  1  x < 0 ( y − 4) 2 = −2 x + 5 = 4 −  x −  2  2 

Las cuales corresponden a segmentos de parábolas.

Y
(0,4 + 5 ) 5   ,4  2  1   − ,4   2 

(0,4 − 5 )

(0,0)

X

6. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A(3,1) es siempre igual a la mitad de su distancia al eje Y .

d ( P , A) =

d ( P ,Y ) 2
x 2
2

( x − 3) 2 + ( y − 1) 2 =
2 2

x ( x − 3) + ( y − 1) = 4

x2 − 6 x + 9 + y2 − 2 y +1 = ( y − 1) 2 + 3 2 x − 6x + 9 = 0 4

x 4

2

3 ( y − 1) 2 + ( x 2 − 8 x ) = −9 4 3( y − 1) 2 + ( x 2 − 8 x + 16) = −9 + 12 4

3

3 ( y − 1) 2 + ( x − 4) 2 = 3 4 2 ( y − 1) ( x − 4) 2 + =1 3 4

7. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A(−1,2) es siempre el doble de su distancia al eje X . Hallar la ecuación de su lugar geométrico.
d ( P , A) = 2d ( P , X )

( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 = 2 y ( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 = 4 y
2

( x + 1) 2 + y 2 − 4 y + 4= 4 y 2 ( x + 1) 2 − 3 y 2 − 4 y = −4
4 4 4 16  ( x + 1) 2 − 3 y 2 + y +  = −4 − = − 3 9 3 3  2 16  ( x + 1) 2 − 3 y +  = − 3 3 
2 16  3 y +  − ( x + 1) 2 = 3 3 
2

2

2   y+  ( x + 1) 2 3  − =1 16 16 9 3
Resultado preliminar para usarlo en el siguiente ejercicio: El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los tres vértices. Se colocael triángulo en forma conveniente con el ángulo recto sobre el origen y sus otros dos vértices sobre los ejes coordenados

2

4

Y
(0, y )
d1

d3

M

d2
( x ,0 )

X

M=

( x ,0) + (0, y )  x y  = ,  2 2 2 x2 y2 + = d2 4 4 y d3 = x2 y2 + 4 4

d1 =

8. Un segmento rectilíneo de longitud 4 se mueve de tal manera que uno de sus extremos permanece siempre sobre el eje X...