Lugaresgeom tricos
Páginas: 56 (13765 palabras)
Publicado: 12 de mayo de 2015
9
LUGARES GEOMÉTRICOS.
CÓNICAS
Página 213
REFLEXIONA Y RESUELVE
Cónicas abiertas: parábolas e hipérbolas
■
Completa la siguiente tabla, en la que a es el ángulo que forman las generatrices con el eje, e, de la cónica y b el ángulo del plano π con e.
b = 90°
b>a
b=a
b
π PASA POR
EL VÉRTICE
punto
recta
π NO PASA
POR EL
VÉRTICE
circunferencia
b = 90°
b>a
b=a
b
π PASA POR
ELVÉRTICE
punto
punto
circunferencia
elipse
dos rectas que
se cortan en V
recta
π NO PASA
POR EL
VÉRTICE
parábola
hipérbola
Página 215
1. Halla las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos:
a) Mediatriz del segmento de extremos A(–5, –3), B(7, 1). Comprueba que es
una recta perpendicular al segmento en su punto medio.
b) Circunferencia de centro O (–3, 4) y radio 5. Comprueba que pasapor el
origen de coordenadas.
c) Bisectrices de los ángulos formados por las rectas:
r 1 : 5x + y + 3 = 0
r 2 : x – 2y + 16 = 0
Comprueba que las bisectrices son dos rectas perpendiculares que se cortan en el mismo punto que r 1 y r 2.
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
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1
www.librospdf1.blogspot.com
a) Los puntos X (x, y) deben cumplir dist (X,A) = dist (X, B ):
√ (x + 5)2 + (y + 3)2 = √ (x – 7)2 + (y – 1)2
Elevamos al cuadrado y desarrollamos:
x 2 + 10x + 25 + y 2 + 6y + 9 = x 2 – 14x + 49 + y 2 – 2y + 1
10x + 14x + 6y + 2y + 34 – 50 = 0 8 24x + 8y – 16 = 0
3x + y – 2 = 0 8 y = –3x + 2
• El punto medio de AB es M (1, –1) que, efectivamente, está en la recta (pues
verifica la ecuación).
• La pendiente de la recta es mr = –3, y la delsegmento es:
mAB =
Cumplen que mr · mAB = (–3)
1 – (–3)
4
1
=
=
7 – (–5)
12
3
( 13 ) = –1 8 AB 2 r
b) Los puntos X (x, y) son tales que:
dist (X, O) = 5 8 √ (x + 3)2 + (y – 4)2 = 5 8 x 2 + 6x + 9 + y 2 – 8y + 16 = 25 8
8 x 2 + y 2 + 3x – 8y + 25 = 25 8 x 2 + y 2 + 3x – 8y = 0
c) Son los puntos X (x, y):
dist (X, r1) = dist (X, r2) 8
|5x + y + 3|
√ 26
=
|x – 2y + 16|
√5
Se dan dos casos: √5 (5x + y + 3) = √ 26 (x – 2y + 16)
√ 5 (5x + y + 3) = – √ 26 (x – 2y + 16)
(
b2 : (5 √ 5
) (
+ √ 26 ) x + ( √ 5
—
—
m1 = – (5 √ 5 – √ 26 )
)
– 2 √ 26 ) y + 3 √ 5
b1 : 5 √ 5 – √ 26 x + √ 5 + 2 √ 26 y + 3 √ 5 – 16 √ 26 = 0
• Sus pendientes son:
—
—
√ 5 + 2 √ 26
m2 =
—
—
– (5 √ 5 + √ 26 )
—
—
√ 5 – 2 √ 26
8 m1 · m2 =
°
§
§
§
¢
§
§
§
£
Son dos rectas:
+ 16 √ 26 = 0
8
25 · 5 – 2699
=
= –1 8 b1 2 b2
5 – 4 · 26
–99
• Calculamos el punto de corte de las rectas iniciales y comprobamos que está
también en ambas bisectrices:
r1 : 5x + y + 3 = 0 8 y = –5x – 3 °
¢ 8 x – 2(–5x – 3) + 16 = 0 8
r2 : x – 2y + 16 = 0
£
8 x + 10x + 6 + 16 = 0 8 11x = –22 8 x = –2
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
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Luego: y = –5 (–2) – 3 = 7
El punto de corte es (–2, 7), que se puede comprobar fácilmente que está en b1
y b2 sustituyendo en sus ecuaciones respectivas:
(
)
(
)
b1 : 5 √ 5 – √ 26 · (–2) + √ 5 + 2 √ 26 · 7 + 3 √ 5 – 16 √ 26 =
= –10 √ 5 + 2 √ 26 + 7 √ 5 + 14 √ 26 + 3 √ 5 – 16 √ 26 = 0
(
)
(
)
b2: 5 √ 5 + √ 26 · (–2) + √ 5 – 2 √ 26 · 7 + 3 √ 5 + 16 √ 26 =
= –10 √ 5 – 2 √ 26 + 7 √ 5 –14 √ 26 + 3 √ 5 + 16 √ 26 = 0
• Por tanto, b1 y b2 son dos rectas perpendiculares que se cortan en el mismo
punto que r1 y r2 .
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1. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (–5, 12) y radio 13. Comprueba que pasa por el punto (0, 0).
(x + 5) 2 + (y – 12) 2 = 169 8 x 2 + y 2 + 10x – 24y = 0
Si sustituimos x = 0, y = 0 en la ecuación, esta se verifica. Por tanto, lacircunferencia pasa por (0, 0).
2. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo cociente de distan— —
cias a los puntos M (6, 0) y N (–2, 0) es 3 (es decir, PM/PN = 3)?
Si P (x, y) es un punto del lugar geométrico, entonces:
—
PM
— =3 8
PN
√ (x – 6) 2 + y 2 = 3
√ (x + 2) 2 + y 2
(x – 6) 2 + y 2 = 9 [(x + 2) 2 + y 2 ]
x 2 – 12x + 36 + y 2 = 9 [x 2 + 4x + 4 + y 2 ]
x 2 – 12x + 36 + y 2 = 9x 2 +...
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CÓNICAS
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REFLEXIONA Y RESUELVE
Cónicas abiertas: parábolas e hipérbolas
■
Completa la siguiente tabla, en la que a es el ángulo que forman las generatrices con el eje, e, de la cónica y b el ángulo del plano π con e.
b = 90°
b>a
b=a
b
π PASA POR
EL VÉRTICE
punto
recta
π NO PASA
POR EL
VÉRTICE
circunferencia
b = 90°
b>a
b=a
b
π PASA POR
ELVÉRTICE
punto
punto
circunferencia
elipse
dos rectas que
se cortan en V
recta
π NO PASA
POR EL
VÉRTICE
parábola
hipérbola
Página 215
1. Halla las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos:
a) Mediatriz del segmento de extremos A(–5, –3), B(7, 1). Comprueba que es
una recta perpendicular al segmento en su punto medio.
b) Circunferencia de centro O (–3, 4) y radio 5. Comprueba que pasapor el
origen de coordenadas.
c) Bisectrices de los ángulos formados por las rectas:
r 1 : 5x + y + 3 = 0
r 2 : x – 2y + 16 = 0
Comprueba que las bisectrices son dos rectas perpendiculares que se cortan en el mismo punto que r 1 y r 2.
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1
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a) Los puntos X (x, y) deben cumplir dist (X,A) = dist (X, B ):
√ (x + 5)2 + (y + 3)2 = √ (x – 7)2 + (y – 1)2
Elevamos al cuadrado y desarrollamos:
x 2 + 10x + 25 + y 2 + 6y + 9 = x 2 – 14x + 49 + y 2 – 2y + 1
10x + 14x + 6y + 2y + 34 – 50 = 0 8 24x + 8y – 16 = 0
3x + y – 2 = 0 8 y = –3x + 2
• El punto medio de AB es M (1, –1) que, efectivamente, está en la recta (pues
verifica la ecuación).
• La pendiente de la recta es mr = –3, y la delsegmento es:
mAB =
Cumplen que mr · mAB = (–3)
1 – (–3)
4
1
=
=
7 – (–5)
12
3
( 13 ) = –1 8 AB 2 r
b) Los puntos X (x, y) son tales que:
dist (X, O) = 5 8 √ (x + 3)2 + (y – 4)2 = 5 8 x 2 + 6x + 9 + y 2 – 8y + 16 = 25 8
8 x 2 + y 2 + 3x – 8y + 25 = 25 8 x 2 + y 2 + 3x – 8y = 0
c) Son los puntos X (x, y):
dist (X, r1) = dist (X, r2) 8
|5x + y + 3|
√ 26
=
|x – 2y + 16|
√5
Se dan dos casos: √5 (5x + y + 3) = √ 26 (x – 2y + 16)
√ 5 (5x + y + 3) = – √ 26 (x – 2y + 16)
(
b2 : (5 √ 5
) (
+ √ 26 ) x + ( √ 5
—
—
m1 = – (5 √ 5 – √ 26 )
)
– 2 √ 26 ) y + 3 √ 5
b1 : 5 √ 5 – √ 26 x + √ 5 + 2 √ 26 y + 3 √ 5 – 16 √ 26 = 0
• Sus pendientes son:
—
—
√ 5 + 2 √ 26
m2 =
—
—
– (5 √ 5 + √ 26 )
—
—
√ 5 – 2 √ 26
8 m1 · m2 =
°
§
§
§
¢
§
§
§
£
Son dos rectas:
+ 16 √ 26 = 0
8
25 · 5 – 2699
=
= –1 8 b1 2 b2
5 – 4 · 26
–99
• Calculamos el punto de corte de las rectas iniciales y comprobamos que está
también en ambas bisectrices:
r1 : 5x + y + 3 = 0 8 y = –5x – 3 °
¢ 8 x – 2(–5x – 3) + 16 = 0 8
r2 : x – 2y + 16 = 0
£
8 x + 10x + 6 + 16 = 0 8 11x = –22 8 x = –2
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
2
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9
Luego: y = –5 (–2) – 3 = 7
El punto de corte es (–2, 7), que se puede comprobar fácilmente que está en b1
y b2 sustituyendo en sus ecuaciones respectivas:
(
)
(
)
b1 : 5 √ 5 – √ 26 · (–2) + √ 5 + 2 √ 26 · 7 + 3 √ 5 – 16 √ 26 =
= –10 √ 5 + 2 √ 26 + 7 √ 5 + 14 √ 26 + 3 √ 5 – 16 √ 26 = 0
(
)
(
)
b2: 5 √ 5 + √ 26 · (–2) + √ 5 – 2 √ 26 · 7 + 3 √ 5 + 16 √ 26 =
= –10 √ 5 – 2 √ 26 + 7 √ 5 –14 √ 26 + 3 √ 5 + 16 √ 26 = 0
• Por tanto, b1 y b2 son dos rectas perpendiculares que se cortan en el mismo
punto que r1 y r2 .
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1. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (–5, 12) y radio 13. Comprueba que pasa por el punto (0, 0).
(x + 5) 2 + (y – 12) 2 = 169 8 x 2 + y 2 + 10x – 24y = 0
Si sustituimos x = 0, y = 0 en la ecuación, esta se verifica. Por tanto, lacircunferencia pasa por (0, 0).
2. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo cociente de distan— —
cias a los puntos M (6, 0) y N (–2, 0) es 3 (es decir, PM/PN = 3)?
Si P (x, y) es un punto del lugar geométrico, entonces:
—
PM
— =3 8
PN
√ (x – 6) 2 + y 2 = 3
√ (x + 2) 2 + y 2
(x – 6) 2 + y 2 = 9 [(x + 2) 2 + y 2 ]
x 2 – 12x + 36 + y 2 = 9 [x 2 + 4x + 4 + y 2 ]
x 2 – 12x + 36 + y 2 = 9x 2 +...
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