lyapunov

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIER´
IA
Facultad de Ingenier´ Mec´nica
ıa
a

´
MT 227 Control Moderno y Optimo

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS
Estabilidad seg´ n Lyapunov (1)
u
Un buen modelo de un ni˜o impulsandose en un columpio es:
n
x1
˙
x2
˙

= x2 ,
= −x2 − (2 + sen t)x1

La energia total se toma como candidate para la funci´n Lyapunov, asi:
o
v(x, t) = x2 +
1

x22
,
2 + sen t

que es una funci´n definida positiva dado que:
o
x2 + x2
1
2

x2 +
1

x2
2
.
3

x2 (4 + 2 sen t + cos t)
2
(2 + sen t)2

0.

x2 +
1

x2
2
2 + sen t

Adicionalmente, derivando con respecto al tiempo se tiene:
v(x, t) = −
˙

Luego el punto de equilibrio en el origen es estable. Sin embargo no podemos concluir que es asint´ticamente
o
estable.Estabilidad seg´ n Lyapunov (2)
u
Sistema con ciclo limite Considerar el sistema:
x1
˙
x2
˙

= −x2 + x1 (x2 + x2 − 1),
2
1
= x1 + x2 (x2 + x2 − 1).
1
2

Una elecci´n de funci´n de Lyapunov es v(x) = x2 + x2 que resulta en v(x) = 2(x2 + x2 )(x2 + x2 − 1),
o
o
˙
1
2
1
2
1
2
que es una funci´n definida negativa para {x : x2 + x2 < 1}. Entonces, 0 es un equilibrio asint´ticamenteo
o
1
2
estable (sin embargo, no es globalmente, asint´ticamente estable, dado que existe un ciclo limite de radio,
o
como puede ser verificando dibujando el diagrama de plano de fase del sistema).
Estabilidad seg´ n Lyapunov (3)
u
La siguiente ecuaci´n describe el movimiento hacia adelante
o
o hacia atr´s (surge) de un buque de carga:
a
(m − Xv )v = X(v) + τ,
˙ ˙
donde Xv es la masahidrodin´mica, m es la masa seca, X(v)
a
˙
es una funci´n no lineal de la velocidad, y τ representa la
o
entrada de control.
Si vd (t) representa la trayectoria deseada, la din´mica del
a
error de seguimiento de trayectoria e(t), con e = v − vd (t),
es:
1
(X(v) + τ ) − vd .
˙
e = v − vd =
˙
˙ ˙
Fig.1 Grados de libertad - movimiento
m − Xv
˙
de un buque.

a. Asumiendo que seconoce X(v) y (m − Xv , cerrar el lazo de control con la entrada:
˙
˙
τ = −X(v) + (m − Xv )(vd − ke), k > 0,
˙
y probar que se puede obtener estabilidad asint´tica global para e = 0 en el sentido de Lyapunov.
o
1
Usar la funci´n de Lyapunov candidata V (e) = e2 .
o
2

Cerrando el lazo de control con τ = −X(v) + (m − Xv )(vd − ke), se tiene:
˙
˙
e = −ke.
˙
Analizando estabilidad enel sentido de Lyapunov, se elige:
V (e) =
˙
Luego, calculando V :

1 2
e , V > 0.
2

˙
V (e) = ee = −ke2 < 0,
˙

se demuestra que el pto de equilibrio e = 0 es asint´ticamente estable globalmente.
o
b. Sea k = 0,1, resolver para e(t) en la din´mica controlada del error de seguimiento de trayectoria.
a
¿Qu´ puede decir de v?
e
La din´mica controlada del error de seguimiento detrayectoria es:
a
e = −ke.
˙
Resolviendo para e, se tiene: e(t) = e(to )e−0,1(t−to ) . Esto significa que v(t) tiende exponencialmente a
vd (t).
c. En la pr´ctica, se debe incluir la din´mica del actuador:
a
a
T τ + τ = τc , T >> 0,
˙
donde τc es la entrada comandada a los actuadores y la constante de tiempo T es conocida. Presentar
el diagrama de bloques del sistema en lazo cerradoincluyendo la din´mica del actuador. Detallar las
a
entradas y salidas de cada bloque.
Aumentando la din´mica del actuador a la din´mica del error de seguimiento de trayectoria, se tiene:
a
a
τ
˙
e
˙

1
(−τ + τc ),
T
1
(τ + X(v)) − vd .
˙
=
m − Xv
˙
=

Siendo que τc = −X(v) + (m − Xv )(vd − ke), el diagrama de bloques del sistema controlado con
˙
˙
din´mica del actuador esmostrado en la Fig. 2.
a

Fig.2 Sistema controlado incluyendo din´mica del actuador.
a

Estabilidad seg´ n Lyapunov - Propuesto
u
a. Representar el movimiento rotacional (din´mica/cinem´tica) del sat´lite en la forma espacio de estados.
a
a
e
Considerar que el lazo de control ha sido cerrado con:
τ = −αω + do × bo ,

α ∈ R, α > 0.

b. Calcular el (los) puntos de equilibrio del...