Límite De Funciones

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL FRANCISCO MORAZÁN
UPNFM
CUED COMAYAGUA

ESTADÍSTICA MATEMÁTICA
MAB-326

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE APÍTULO IV DEL TEXTO ESTADÍATICA MATEMÁTICA DE FREUND

TUTORA. LIC. GLADIS MEDINA

ALUMNO:
ODILIO JESÚS FLORES MURILLO
REGISTRO 1502 1971 00124

COMAYAGUA, COMAYAGUA 30 DE OCTUBRE DE 2010

4.1 Para ilustrar la demostración del teorema 4.1, considere la variable -2,-2, 0, 1, 2 3 con posibilidades ƒ(- 2), ƒ(-1), ƒ(0), ƒ(1), ƒ(2), ƒ(3). Si g(x) = x², encuentre:
a. g1 , g2, g3 y g4 , los valores posibles de g(x)
b. Las probabilidades de P[g(x) = g1 ] para i = 1, 2, 3, 4;
E [g(X)] = I=14gi*PgX=gi, y muestre que es igual a xgx*f(x)X2

RESPUESTA EJERCICIO 4.1

a) Los valores obtenidos a partir de los datos son:

x | ƒ(x) | g(x) = x2 |
-2 | ƒ(-2) | g(-2) =(-2)2 = 4 |
-1 | ƒ(-1) | g(-1) = (-1)2 = 1 |
0 | ƒ(0) | g(0) = (0)2 = 0 |
1 | ƒ(1) | g(1) = (1)2 = 1 |
2 | ƒ(2) | g(2) = (2)2 = 4 |
3 | ƒ(3) | g(3) = (3)2 = 9 |

La respuesta concreta es g1 = 0, g2 = 1, g3 = 4 y g4 = 9,

b) Con la información mostrada en la tabla anterior, se tiene:

* P [ g(x) = g1] = P [ g(x) = 0 ] = ƒ(0)

* P [ g(x) = g2] = P [ g(x) = 1 ] = ƒ(-1) + ƒ(1)

* P [g(x) = g3] = P [ g(x) = 4 ] = ƒ(-2) + ƒ (2)

* P [ g(x) = g4] = P [ g(x) = 3 ] = ƒ(3

)
c) E [g (x) ] = i=14g1* P [g (x) = gi ] = xg(x)*f(x)
i=14g1 * j=1njf(xij) Suponiendo que g (x) toma el valor gi
i=14j=1njgi * ƒ(x) Utilizando la propiedad ck=1nak = k=1ncak
E [g (x) ] = i=14g1* P [g (x) = gi ] = xg(x)*f(x) gi = g (x) cuando ƒ(xij) = ƒ(x)


4.2 Demuestre el teorema 4.2 paravariables aleatorias discretas.

Si a y b son constantes, entonces E ( ax + b) = aE (x) + b, Si la variable es discreta:
Utilizando el teorema 4.1 con g (x) = ax + b
E [g (x) ] = xg(x)*f(x)
E ( ax + b) = x(ax+b)*f(x)
= x[ax*fx+b*f(x)]
= xax*fx+ xb*fx
= axx*fx+ bx *fx Aplicando = nci a n = cixan
= aE(x) + b*1 Aplicando xfx=1
= E (ax + b) = aE(x) + b4.5 Dadas dos variables aleatorias continuas X y Y, use el teorema 4.4 para expresar E(X) en términos de:
a. La densidad conjunta de X y Y;
b. La densidad marginal de X.
Respuesta de inciso a)
E [g (x,y) ] = -∞∞g(x,y) * ƒ(x,y) dxdy

b. E [g (x) ] = -∞∞fx,ydy para -∞ <x <∞

4.7 Obtenga el valor esperado de la variable aleatoria Y cuya densidad de probabilidad está dada por:18 (y +1) para 2 <y <4
ƒ(y) =
0 en cualquier otra parte

E(y) = -∞∞y* fydy
= -∞2y* fydy + 24y* fydy + 4∞y* fydy
= -∞2y* 0dy + 24y* 18y+1dy + 4∞y* 0dy
= -∞2y* 0dy + 1824(y²+y)dy + 4∞y* 0dy
= -∞2y* 0dy + 24y* 18y+1dy + 4∞y* 0dy
= lima→-∞(c-c)2a + 1813y³+12y²42 + limb→∞(c-c)b4
= lima→-∞0 + 18[1343+1242- 1323+1222] +limb→∞(0)
= 0 + 18[13(64)+12(16)- 13(8)+12(4) ]+ 0
= 0 + 18643+8-83-2+0 = 18743 = 7424 = 3712

4.8 Obtenga el valor esperado de la variable aleatoria X cuya densidad de probabilidad está dada por:
X para 0 <x <1
ƒ(x) = 2 – x para 1 ≤ x <2
0 en cualquier otra parte

E(x) = -∞∞x* fxdx
= -∞0x* fxdx + 01x* fxdx + 12x* fxdx + 2∞x* fxdx= -∞0x* 0dx + 01x* xdx + 12x* 2-xdx + 2∞x* 0dx
=0dx + 01x²dx + 122x-x²dx + 0dx
= lim0→-∞(c-c)0a + (13x³)10+(x2-13x3)21 + limb→∞(c-c)b2
= lima→-∞0 + [1313-1303+[22-1323-12-1313] + limb→∞(0)
= 0 +13-0+ 4-83-1+ 13 ]+ 0
= 0 + 13+ 43-1+ 13 ]+ 0
= 1
4.9 a) Si X asume los valores 0, 1, 2 y 3 con probabilidades 1125, 2125, 48125 y 64125,Encuentre:

a) E (X) y E (X2)

b) Use los resultados del inciso a) para determinar el valor de E [(3X +2)2]
Respuesta inciso a)

Partiendo de la información que se da y utilizando la fórmula i de la Definición 4.1:

E (x) = x x*f(x)
= 0 * ƒ(x) + 1 * ƒ(1) + 2 * ƒ(2) + 3 * ƒ(3)
= 0 * 1125 + 1 * 12125 + 2 * 48125 + 3 * 64125
= 0 + 12125 + 96125 + 192125...