Límites Y Continuidad_ Tema 1_ Curso 1415

Universidad de
Oviedo

BLOQUE I.
Cálculo Diferencial de
funciones de varias variables.
Tema 1. Funciones de varias
variables

1

PROGRAMA

BLOQUE I. Cálculo Diferencial de funciones de varias variables.
Tema 1. Funciones de varias variables.
1.1 El espacio métrico en IRn.
1.2. Funciones de varias variables como instrumentos de modelización
económica.
1.3. Representación gráfica. Curvas de nivel.1.4. Límites y continuidad de funciones de varias variables.
Material complementario
Funciones elementales de varias variables.

2

1

Topología en R n .
La idea de proximidad es fundamental en el Análisis –es imprescindible, por
ejemplo, para definir los conceptos de bola, límite, continuidad y derivabilidad de
funciones-. Para formalizar esta idea necesitamos el concepto de distancia.
Unafunción de distancia o métrica es una generalización del concepto de
distancia física. Debe cumplir ciertas propiedades (no negatividad, simetría,
etc.), y permite cuantificar de un modo preciso cómo de cerca o lejos está un
objeto –o elemento- de otro.
Una de las más empleadas es la distancia euclídea.
B

d ( A, B ) = 6 2 + 52 = 61 = 7,81.
A

Topología en R n .
Definición: La distancia euclídea entredos vectores se calcula como
la raíz cuadrada positiva de la diferencia entre sus componentes al
n
cuadrado d : Rh
×Rhn → R+ ,

d ( x, y ) = +
Distancia eucídea en

d ( x, y ) = +

d ( x, y ) = +

2

2

+ ... + ( xn − yn ) .
2

R.

( x − y)

Distancia eucídea en

( x1 − y1 ) + ( x2 − y2 )

2

x

= x− y

R2 .

x2 − y2

( x1 − y1 ) + ( x2 − y2 )
2

x

x2

y2
2

y

y−x

y

.
y1

x1

x1 − y1

2Topología en R n .
El concepto de bola hace referencia al conjunto de puntos cuya distancia a uno
dado –el centro de la bola-, es inferior a cierta longitud.

Definición: Llamamos bola abierta de centro x0 ∈ R n y radio r > 0 al
n
conjunto

Br ( x0 ) = { x ∈ R / d ( x , x0 ) < r} .

En R , una bola abierta es un intervalo abierto, i.e. excluidos sus extremos.

Br ( x0 ) = { x ∈ R / x0 − r < x < x0 + r}= ( x0 − r , x0 + r ) = ] x0 − r , x0 + r [ .

x0 − r

x0 + r

x0

x0 − r

x0

x0 + r

x0 − r
6

En R 2, una bola abierta es un círculo, excluida
la circunferencia que lo delimita.

{

}

B4 ( 3, 2 ) = x ∈ R 2 / d ( x , ( 3, 2 ) ) < 4
=

{( x , x ) ∈ R
1

2

2

x0 + r

x0
4

2

}

/ ( x1 − 3) + ( x2 − 2 ) < 4 .
2

3

7

-2

En R 3, una bola abierta es una esfera, excluida la superficie esféricaque la
delimita.

Topología en R n .
Los conceptos de bola cerrada y bola reducida se definen de forma análoga;

Definición: Llamamos bola cerrada de centro x0 ∈ R n y radio r > 0 al
n
conjunto

B r ( x0 ) = { x ∈ R / d ( x , x0 ) ≤ r} .

En R , una bola cerrada es un intervalo cerrado, i.e. incluidos sus extremos.

Br ( x0 ) = { x ∈ R / x0 − r ≤ x ≤ x0 + r} = [ x0 − r , x0 + r ] .
x0 − r

x0 + rx0

x0 − r

x0

x0 + r

Definición: Llamamos bola abierta reducida de centro x0 ∈ R n y
radio r > 0 al conjunto

B*r ( x0 ) = { x ∈ R n / 0 < d ( x , x0 ) < r} = Br ( x0 ) \ { x0 } .

En R , una bola abierta reducida es la unión de dos intervalos abiertos.

x0 − r
Así,

x0

x0 + r

x0 − r

x0

x0 + r

B*r ( x0 ) ⊆ Br ( x0 ) ⊆ B r ( x0 ) .

3

Topología en R n .
2

Algunos ejemplos en R ,
6

{

}B4 ( 3, 2 ) = x ∈ R 2 / d ( x , ( 3, 2 ) ) < 4 ,

2
3

7

6

-2
2
3

6
-2

7

{

}

B4 ( 3, 2 ) = x ∈ R 2 / d ( x , ( 3, 2 ) ) ≤ 4 ,

2
3
-2

7

{

}

B*4 ( 3, 2 ) = x ∈ R 2 / 0 < d ( x , ( 3, 2 ) ) < 4 .

Topología en R n .Tipos de puntos en relación a un conjunto.
Los distintos tipos de puntos en relación a un conjunto forman nuevos conjuntos
asociados al original. Los más importantes son elinterior y la frontera del
conjunto. Su análisis permite determinar si el conjunto es abierto, cerrado o
ninguna de las dos cosas.

Punto
Interior
Conjunto
Interior
Punto
Frontera
Conjunto
Frontera

4

Topología en R n .Tipos de puntos en relación a un conjunto.
Definición; Decimos que un punto x ∈ A es un punto interior de A
si es posible definir una bola abierta no vacía centrada en x 0 que...