Límites

LÍMITES

Al aproximar x lo suficientemente cerca de un número a (sin ser a ) por ambos lados, f ( x) se aproxima a un número real L , esto se representa:
lim f ( x)  L
x a

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE UNA GRÁFICA Ejemplo 1

f ( x) 

x2  9 ; x 3

f ( x) 

( x  3)( x  3)  x3 x 3

9 8 7 6 5 4 3 2 1 -2 -1 -1 -2

y

x
1 2 3 4 5 6 7 8

MEM. Martha PatriciaValdivia Gutiérrez

Página 1

Ejemplo 2

3x  14 si x  2 f ( x)    x  2 si x  2
9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 1 2 3 4 5 6

y

x

Ejemplo 3 Para la función f ( x) mostrada en la figura determinar: a) lim f ( x)
x 1

b) lim f ( x)
x 3

7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

y

x
1 2 3 4 5 6 7 8

SOLUCIÓN: a) 4 b) no existe
MEM. Martha Patricia Valdivia GutiérrezPágina 2

Ejemplo 4 Para la función f ( x) mostrada en la figura determinar: a)
x  1

lim f ( x)

b) lim f ( x) c) lim f ( x)
x 3 x 1

9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2

y

x
1 2 3 4 5 6 7

SOLUCIÓN: a) 1 b) 3 c) no existe

Si los límites laterales existen y tienden a un mismo número L entonces el límite existe.

MEM. Martha Patricia Valdivia Gutiérrez

Página 3Ejercicios: Utiliza una herramienta de graficación para representar la función y estimar los limites de manera visual.

1. f ( x)   x 2  4 x a)lim f ( x)
x4

2. f ( x) 
x 4

b) lim f ( x)
x 1

12( x  3) x 9 a )lim f ( x)
x 0

3. f ( x)  x x  4 a )lim f ( x)
x4

b) lim f ( x)
x 1

b)lim f ( x)

TEOREMAS Si f ( x) y g ( x) son funciones, c, a y n son númerosreales, entonces: 1.- lim c  c
x a

2.- lim x  a
x a

3.- lim c f ( x)  c lim f ( x)
x a x a

4.- lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
x a x a x a

5.- lim  f ( x) g ( x)  lim f ( x) lim g ( x)
x a x a x a

6.- lim
x a

f ( x) lim f ( x)  x a g ( x) lim g ( x)
x a

7.- lim  f ( x)  lim f ( x) x a  x a 
n

n

(Para los teoremas del 4 al7 se cumple siempre y cuando los límites existan)

MEM. Martha Patricia Valdivia Gutiérrez

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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ANALÍTICAMENTE El límite se obtiene al aplicar los teoremas y sustituir el valor al cual tiende la variable en la función propuesta.

lim( x 2  3x  4)  lim x 2  lim3x  lim 4  lim x  3lim x  lim 4   2   3  2   4  6
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x2





2

Los teoremas nos permiten hacer una sustitución de la variable independiente por el valor al que tiende el límite. Ejemplos:

1 3  2  3  2x 2  2  1 a) lim  x 1 2 3  2 x 1 4 2 3  2  2
b) lim

4 4 4 4    2 x 2 x  4  2  4 4  4 0
2

El límite no existe, ya que la división entre cero no está

definida. c) lim
x 3

9  (3)2 9  x2 99 0   0 2x 1 2(3)  1 6 1 7

Ejercicios: Determina el valor de los siguientes límites. 1. lim  7  2 x 
x 2

5. lim
x 7

2. lim 4 x 2  2 x  6 
x 3

3x x2

6. lim 3 x  4
x 4

3. lim x  1
x 3

7. lim
x x 4
2

2 x  3 x  2
x2 x4

4. lim
x 1

8. lim
x 2

MEM. Martha Patricia Valdivia Gutiérrez

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LIMITES INDETERMINADOS:

0 , cuando sepresenta un resultado 0 con estas características es necesario quitar la indeterminación, dicha indeterminación se elimina al factorizar o racionalizar (de ser posible la función, para posteriormente simplificarla y obtener el límite.
Uno de los tipos de indeterminaciones que se presentan es Por simple inspección se puede ver cuando se presenta la indeterminación.

Ejemplos:

lim
1.

3x 2  5x 4 3(0)2  5(0)4 0   2 4 8 2 4 8 x 0 2 x  6 x  7 x 2(0)  6(0)  7(0) 0
x 0

lim

x 2 (3  5 x 2 ) 3  5x2 3  5(0) 2 3  lim   2 2 6 2 6 2 6 x (2  6 x  7 x ) x 0 2  6 x  7 x 2  6(0)  7(0) 2

4  x 2 4  (2) 2 44 0    x 2 x  2 (2)  2 2  2 0 2. (2  x)(2  x) lim  lim (2  x)  (2  (2)  4 x 2 x 2 x2 lim

lim
x 1

3.

x 2  2 x  1 (1) 2 ...