lógica matematica

´
NOCIONES ELEMENTALES DE LOGICA
´
MATEMATICA

Estudiaremos brevemente un lenguaje no contradictorio ni ambivalente que nos permitir´ introducirnos a la Matem´tica: la L´gica Matem´tica, que estudia las leyes que
a
a
o
a
regulan el razonamiento.
Por fines did´cticos la dividimos en
a
a) l´gica proposicional,
o
b) l´gica funcional.
o

1.1.

´
LOGICA PROPOSICIONAL

En lal´gica proposicional consideraremos dos elementos b´sicos: Proposiciones, Coo
a
nectivos.
1.1.1.

Proposiciones

Son “frases” sobre las cuales podemos decidir, un´
ıvocamente, sobre la verdad (V ) o
falsedad (F ) de ellas.
As´ entonces, una proposici´n es una frase que es V o F , no existiendo la posibilidad
ı
o
de obtener ambas decisiones conjuntamente (Principio del tercero excluido).Las proposiciones las denotamos por letras min´sculas p, q, r, etc., que resumir´n, en
u
a
si mismo, el significado particular que tengan al interior de una situaci´n concreta.
o
Ejemplo 1.1.1.
1. “p” resumir´, al interior de ´ste ejemplo, a la proposici´n: “Hoy es Martes 10 de
a
e
o
Mayo“, y denotamos p: “Hoy es Martes 10 de Mayo”.
2. Las siguientes “frases” son proposiciones:
q : x + 4= 9 y x = 5 (es V )
r : Si x es un n´mero real, entonces su cuadrado es no negativo (es V ).
u

Observaci´n 1.1.1. No son proposiciones los interrogativos y los imperativos.
o
1

2

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA

1.1.2.

Conectivos

S´
ımbolos que, junto con las proposiciones b´sicas, nos permiten crear nuevas proposia
ciones, son:
∼: se lee “no”,
∧: selee “y”,
∨: se lee “ y/o”,
⇒: se lee “. . . implica . . .” ´ “si, . . . entonces, . . .”,
o
⇔: se lee “. . . equivalente con . . .”.
Observaci´n 1.1.2. El conectivo “∼” se usa antes de una proposici´n, y los restantes
o
o
conectivos se usan entre dos proposiciones.
Ejemplo 1.1.2. Si p, q, r son proposiciones, entonces tambi´n son proposiciones:
e
1. ∼ p
2. p ∧ q
3. p ∨ q
4. p ⇒ q5. p ⇔ q
6. p ∧ (q ∨ r)
7. [(∼ p) ∧ (q ∨ r)] ⇒ q
1.1.3.

Tablas de Verdad

Las proposiciones compuestas, es decir, aquellas que contienen al menos un conectivo,
tienen, naturalmente, un valor veritativo, y para las proposiciones compuestas b´sicas ese
a
valor veritativo lo damos en las siguientes “tablas de verdad”.
Tabla de Verdad de la Negaci´n (∼)
o
Dada la proposici´n b´sica “p” ,existe la negaci´n de ella, denotada ∼ p, que se lee
o a
o
“no p”, proposici´n que tiene la siguiente tabla de verdad.
o
p
V
F

∼p
F
V

´
HERALDO GONZALEZ SERRANO

3

Observaci´n 1.1.3. Es claro que el valor veritativo de ∼ p es el contrario de p. Por ejemplo,
o
si “p” es
p: “Hoy llueve”
es verdadero entonces ∼ p es
∼ p: “Hoy no llueve”
es falso.
Tabla de Verdad de laConjunci´n (∧)
o
Dadas las proposiciones “p”, “q”, existe la conjunci´n de ellas, denotada p ∧ q, que se
o
lee “p y q”, proposici´n tal que su tabla de verdad es
o
p
V
V
F
F

q
V
F
V
F

p∧q
V
F
F
F

Observaci´n 1.1.4. La conjunci´n es verdadera s´lo si las proposiciones que la componen
o
o
o
lo son.

Tabla de Verdad de la Disyunci´n (∨)
o
Dadas las proposiciones “p”,“q” existe la disyunci´n de ellas, denotada p ∨ q que se
o
lee “p o q”, proposici´n tal que su tabla de verdad es
o
p
V
V
F
F

q
V
F
V
F

p∨q
V
V
V
F

4

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA

Observaci´n 1.1.5.
o
1. La disyunci´n es verdadera siempre, menos cuando las proposiciones que la compoo
nen son ambas falsas.
2. La disyunci´n presentada esincluyente, es decir, admite como verdadera a la proo
posici´n p ∨ q cuando ambas proposiciones que la componen lo son, sin embargo, si
o
deseamos la disyunci´n excluyente, la denotamos p q, en este caso, si las proposio
ciones p, q son ambas verdaderas entonces p q es falsa.

Tabla de Verdad de la Implicaci´n (⇒)
o
Dadas las proposiciones “p”, “q” existe la implicaci´n de p con q,...