Métodos

Método de aproximaciones sucesivas
Es uno de los procedimientos más importantes y más sencillos de codificar. Supongamos la ecuación, donde f(x) es una función continua que se desea determinar susraíces reales. Se sustituye f(x) por la ecuación equivalente. Se estima el valor aproximado de la raíz x0, y se sustituye en el segundo miembro de la ecuación para obtener x1.
Poniendo x1 comoargumento de j(x), obtendremos un nuevo número x2, y así sucesivamente. Este proceso se puede sintetizar en la fórmula.
Si esta secuencia es convergente es decir, tiende hacia un límite, la solución x esEl método de iteración se explica geométricamente mediante el gráfico de la figura. Se dibuja la curva y=j(x), y la recta y=x, bisectriz del primer cuadrante. La abscisa x del punto de intersección esla raíz buscada. Un ejemplo típico es la de encontrar la raíz de la ecuación.
Para encontrar la raíz, se comienza en el punto cualquiera de abscisa x0 dentro del intervalo (0, p/2), y se traza lalínea vertical hasta que interseca la curva, luego, desde este punto, se traza una línea horizontal hasta que se alcanza la recta bisectriz, este punto tendrá por abscisa x1. Se traza de nuevo, una líneavertical hasta encontrar a la curva, y otra línea horizontal hasta encontrar la línea recta, el punto de intersección tiene de abscisa x2, y así sucesivamente. Como podemos apreciar en la figura, lasucesión x1, x2, x3... tiende hacia la raíz x de la ecuación buscada.
Ejemplo:
1.-Encontrar  las dos raíces cuadradas de  0.5. Sea

De donde

 y
Sustituyendo  y  en (3-16)



Para determinar la raízpositiva se empezara con, entonces:


 

Trabajando con cuatro cifras significativas, el valor de la raíz positiva en la tercera y cuarta iteraciones  son iguales, por lo que con esta aproximación elvalor de la raíz será 0.7071. Para encontrar la raíz negativa se empezara con
X1 =
X2 =
X3 =
X4 =

2.-Resolver la ecuación X-4*sen X = 0. Se tiene
F(x) = X-4sen X
F’(x) = 1-4 cos X
Entonces...