Mètodos numèricos

5. Raíces de ecuaciones
5.1 Métodos cerrados

Parte II: Análisis Numérico

1

5.1.1 Métodos Gráficos
Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la
ecuación f(x)=0, consiste en graficar la función y observar donde cruza
el eje x.

Ejemplo: Utilizar gráficas por computadora para localizar las raíces de
f(x) = x3 + x2 -3·x+5
Solución. Utilizando MATLAB,
0 THEN
xl =xr
fl = f(xl)
il = 0
iu = iu+1
IF iu ≥ 2 THEN fu = fu/2
ELSE
ea = 0
END IF
IF ea < es OR iter ≥ imax THEN EXIT
END DO
ModFalsePos = xr
END ModFalsePos

Parte II: Análisis Numérico

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Ejercicios
Ejercicio 5.1 Determine las raíces reales de f(x) = -0.4x2 + 2.2x + 4.7:
a. Gráficamente
b. Usando el método de bisección para determinar la raíz más grande.
Emplee como valoresiniciales xl=5 y xu=10. Calcule el error
estimado εa y el error verdadero εt para cada iteración.
Ejercicio 5.2 Calcule la raíz real positiva de f(x)=x4-8x3-36x2+462x
1010 utilizando el método de la falsa posición. Use una gráfica para
escoger el valor inicial y realice el cálculo con εs = 1.0 %

Parte II: Análisis Numérico

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Ejercicio 5.3 La concentración de saturación de oxígenodisuelto en agua se
calcula con la ecuación
1.575701 × 10 5 6.642308 × 10 7 1.243800 × 1010 8.621949 × 1011
ln Osf = −139.34411 +
−
+
−
2
3
4
Ta
Ta
Ta
Ta

donde Osf = concentración de saturación de oxígeno disuelto en agua a 1 atm
(mg/L) y Ta = Temperatura absoluta (K). Recuerde que Ta = T + 273.15, donde
T = temperatura (ºC). De acuerdo con ésta ecuación, la saturación disminuye
conel incremento de la temperatura. Para aguas naturales típicas en climas
templados, la ecuación sirve para determinar rangos de concentración de
oxígeno desde 14.621 mg/L a 0ºC hasta 6.949 mg/L a 35ºC. Dado un valor
de concentración de oxígeno, ésta fórmula y el método de bisección son útiles
para resolver la temperatura en ºC.
Si los valores iniciales se fijan en 0 y 35ºC, desarrolle y pruebeun programa de
bisección para determinar T como una función de una concentración de
oxígeno dada. Pruebe el programa para Osf=8, 10 y 14 mg/L. Compruebe sus
resultados
Parte II: Análisis Numérico

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5.2 Métodos abiertos

Parte II: Análisis Numérico

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5.2.1 Iteración simple de punto fijo
Los métodos abiertos utilizan una fórmula para predecir la raíz. Esta
fórmula puededesarrollarse como una iteración simple de punto fijo
(También llamada iteración de un punto o sustitución sucesiva o
método de punto fijo), al reordenar la ecuación f(x)=0 de tal modo que
x esté del lado izquierdo de la ecuación:
x=g(x)
x2 + 3
Por ejemplo, x2-2x+3 = 0, se reordena para obtener x =

2

Mientras que sen(x)=0, puede transformarse sumando x a ambos lados
para obtenerx=sen(x)+x

Parte II: Análisis Numérico

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De ésta manera, dado un valor inicial para la raíz xi , la ecuación
anterior puede usarse para obtener una nueva aproximación xi+1,
expresada por la fórmula iterativa
xi+1=g(xi)
El error aproximado se calcula usando el error normalizado:

xi +1 − xi
εa =
100%
xi +1

Parte II: Análisis Numérico

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Ejemplo

Iteración simple de puntofijo
Planteamiento del problema. Use una iteración simple de
punto fijo para localizar la raíz de f(x) = e-x - x
Solución.
xi+1=e-xi
i

xi

εa %

ετ %

1

1

100.0

76.3

2

0.367879

171.8

35.1

3

0.692201

46.9

22.1

4

0.500473

38.3

11.8

5

0.606244

17.4

6.89

6

0.545396

11.2

3.83

7

0.579612

5.90

2.20

80.560115

3.48

1.24

9

0.571143

1.93

0.705

10

0.564479

1.11

0.399

Parte II: Análisis Numérico

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Convergencia
El error relativo porcentual verdadero en cada iteración del ejemplo
anterior, es proporcional (por un factor de 0.5 a 0.6) al error de la
iteración anterior. Esta propiedad se conoce como convergencia lineal.

Parte II: Análisis Numérico

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