Método de chebyshev

Método de Chebyshev
Polinomios y Nodos
Polinomios de Chebyshev.-
Los Polinomios de Chebyshev están estrechamente ligados a la teoría de la aproximación de funciones, la principal aplicaciónconstituye el desarrollo de los filtros eléctricos, o filtros de ondas, de gran importancia en las ramas de la ingeniería eléctrica y electrónica. Esta aplicación la comparten también con las funcionesde Bessel.
La función
Cn ( x ) = cos ( n arcos x )
en la cual n es cualquier número natural, se conoce como Polinomio de Chebyshev de orden n. Aunque a primera vista no parezca evidente, lafunción mencionada es en efecto un polinomio en x, finito para todo x ≠ ∞ , como probaremos a continuación.

En primer lugar, si n = 0, es obviamente:

C0 ( x ) = cos ( 0 arcos x ) = cos 0 = 1

Asu vez, para n = 1,

C1 ( x ) = cos ( arcos x ) = x

Ahora bien, para calcular los polinomios sucesivos, se puede apelar a la fórmula de recurrrencia que demostraremos a continuación:

ElPolinomio de orden n es, por definición (4.1):

Cn ( x ) = cos ( n arcos x )

Y si llamamos, para simplificar:

u = arcos x

reemplazando, obtenemos:

Cn ( x ) = cos n u
su vez, la funcióninversa de u es:
x = cos u
De acuerdo con la definición dada más arriba, el Polinomio de orden n + 1, será:
Cn+1 ( x ) = cos [ ( n + 1 ) u ] = cos ( n u + u )
y el de orden n -1:
Cn-1 ( x ) =cos [ ( n - 1 ) u ] = cos ( n u - u )
Al aplicar las conocidas fórmulas del coseno de la suma y del coseno de la diferencia, las dos últimas igualdades quedan modificadas como sigue:

Cn+1 ( x ) =cos u cos nu - sen u sen un
Cn-1 ( x ) = cos u cos nu + sen u sen un
Al sumar miembro a miembro estas dos igualdades, y despejar luego, se obtiene:
Cn+1 ( x ) = 2 cos u cos nu - Cn-1 ( x )
yreemplazando:
Cn+1 ( x ) = 2 x Cn ( x ) - Cn-1 ( x )
A partir de este resultado, es posible determinar, por reiteración, el polinomio que representa a cada una de las funciones de Chebyshev.

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