Método de cuadratura Gaussiana.

 4.2.4. Método de cuadratura Gaussiana.
En las formulas de integración pasadas considerando que los espaciamientos son iguales, es decir que la variable independiente x esta dividida en intervalosequiespaciados. Gauss observo que a falta de exigir la condición de conocimiento de la función f(x) en valores predeterminados, una formula de tres términos requeriría seis parámetros (en vez de trescomo el caso de Simpson) y correspondería a una formula de integración poli nómica de grado cinco. Las formulas gaussianas pueden aplicarse cuando la función f(x) se conoce explícitamente si por elcontrario, se conocen valores equiespaciados de la función ya que estas han sido evaluadas experimentalmente, se deben usar las formulas de integración numérica. 

Las formulas de integración  deGauss tienen la forma:
 
Donde, wi son las funciones de peso y f(x) son las n+1 evaluaciones de la función f(x)-
Cuadratura Gauss Legendre
El objetivo de este método es aproximar la función f(x), porun polinomio pn (x) que sea ortogonal con respecto a una función de peso dado, en el intervalo.
f(x)=Pn(x)+Rn(x)

Donde w(x) son funciones de peso, Pn(x) es el polinomio seleccionado y Rn(x) es elresiduo originado por la aproximación.
Es conveniente que los límites de integración sea entre (-1,1) y no entre (a, b ). para ello se puede hacer un sencillo cambio de variable de la siguienteforma:



Así se tiene que.
 
L1 es el polinomio de Legendre: 
 
Nótese que I e I’ están relacionadas de la siguiente manera:
 
Reagrupando los términos de la primera ecuación de esta cuadratura,se tiene:
 
Se puede demostrar que si la función F(t) es equivalente a un polinomio de grado inferiros o igual a un polinomio de grado 2n+1, la integral es exacta si los coeficientes son calculadospor la formula:
 
Las funciones Ω(t) son funciones positivas integrales asociadas a la propiedad de ciertos polinomios ortogonales. De hecho los valores que aparecen en el cálculo de la sumatoria...