Método De Gauss

MATRICES.
Una matriz es un arreglo ordenado de números. Se usan para resolver sistemas de ecuaciones.
Sistema de ecuaciones: Forma Matricial de este sistema (la cual se llama matriz aumentada):
2x+4y=8 243-2 | 84 Como ven, solo le quitan las variables y el
3x-2y=4 signo de igualdadse sustituye por una línea vertical

De igual forma, una matriz la pueden escribir en forma de ecuaciones:

Forma matricial forma de ecuaciones:
14-35 | 104 x+4y=10
-3x+5y=4

Método de Gauss- Jordan.
Este es el método que vimos en clase, solo les escribiré las operaciones que pueden hacerse:
1. Intercambiar dos ecuacionescualesquiera, es decir dos renglones de la matriz.
2. Reemplazar un renglón con un múltiplo constante (distinto de cero) de ella misma, es decir, multiplicar un renglón por un número ya sea positivo o negativo.
3. Sumar o restar un renglón con otro o con el renglón obtenido en el inciso anterior.

Resolvamos el primer sistema escrito:
Recuerden que el primer número del primer renglón yprimer columna debe ser uno:
Vamos a dividir entre 2 (o multiplicar por ½ todo el primer renglón)
243-2 | 84 123-2 | 44

Luego todos los números debajo de ese 1 deben ser cero:
Ahora vamos a multiplicar por -3 el renglón 1 y lo sumamos al renglón 2:

-3R1+R2 = {(-3)(1) + 3 =0 (-3)(2)+(-2)=-8 | (-3)(4)+4=-8 } y entonces la matriz nos queda ahora:

120-8 | 4-8 Ahoradividimos entre -8 todo el renglón 2 para hacer 1 el -8 que está junto al cero y nos queda la siguiente matriz:

1201 | 41 y con este uno que recién sacamos, podemos hacer cero el 2 que está arriba pues solo nos deben quedar unos en la diagonal y ceros en todos los demás lugares. Para esto, multiplicamos por -2 al renglón 2 y lo sumamos al renglón 1:

-2R2+R1= {(-2)(0)+1 =1(-2)(1)+2) = 0 | (-2)(1)+4 = 2}
Por lo que la matriz queda:

1001 | 21 Y la solución es x= 2 , y = 1. Si sustituimos estos valores en las ecuaciones, nos deben de dar 8 en la primera y 4 en la segunda.

Cuando tenemos una matriz con solamente unos en su diagonal y ceros en todas las demás posiciones, se dice que está en la forma reducida por renglones:

Forma reducida porrenglones:

100010001|14|-3|6

Por ejemplo, la siguiente matriz no está en la forma reducida por renglones:

120001001|14|-3|6
En otras palabras la forma reducida es que el primer número de la izquierda, sea 1 y abajo puros ceros, luego a la derecha y un reglón abajo haya otro 1 y por arriba y debajo de él puros ceros, luego a la derecha y un renglón abajo otro 1 y por arriba y debajo de élpuros ceros:

100010001 000000000|||25-4000000000 100010001|||-364

¿Pero todos los sistemas tienen solución única? NO!!! Ya lo vimos gráficamente en clase. Chequemos esto:

1. Un sistema de ecuaciones con un número infinito de soluciones:

Resolver el sistema de ecuaciones lineales dado por:
x+2y-3z=-2
3x-y-2z=1
2x+3y-5z=-3
Por Gauss Jordan obtenemos:
12-33-1-223-5 |||-21-3R2-3R1R3-2R112-30-770-11 ||| -271-17R2

12-301-10-11 ||| -2-11R1-2R2R3+R210-101-1000 ||| 0-10
Esta es la forma reducida por renglones que obtenemos, pero vemos que donde debe haber un 1 hay un cero y además ese renglón es igual a cero. Para ver qué pasa, regresemos esta última matriz a la forma de ecuaciones:

x-z=0 esto es, un sistema de 2 ecuaciones y 3 variables. El cualpodemos resolver
y-z=-1 despejando las variables x e y y dejarlas en términos de z, de modo que nos queda:
x=z
y=z-1

Asi, podemos darle un valor cualquiera a Z, por ejemplo si z= 0, x= o e y =-1, si decidimos que z valga 5, pues entonces z=5, x=5 e y=4, si mejor le damos el valor de -10 a z, pues z=-10, x=-10 e y=-11 , y así podemos darle cualquier valor a z y éste nos dará muchas...