Método De Imágenes

EL MÉTODO DE LAS IMAGENES
El método de las imágenes implica la conversión de un campo eléctrico en otro equivalente más fácil de calcular. En ciertos casos es posible sustituir un conductor por una o más cargas puntuales, de modo que las superficies conductoras se sustituyen por superficies equipotenciales a los mismos potenciales. El caso más sencillo es el de una carga q situada a unadistancia d de una placa conductora conectada a Tierra. La placa puede reemplazarse por una carga imagen -q, tal como se muestra en la figura.El plano que corta perpendicularmente a la línea que une las dos cargas y que está a la misma distancia de ambas, está a un potencial cero. La parte derecha de la figura, se ha obtenido con el applet de la página titulada "El campo eléctrico de un sistema de doscargas"Se ha empleado el método de las imágenes para determinar el campo y el potencial de un sistema formado por una carga puntual Q próxima a una esfera conductora a potencial cero. En esta página, se van a describir sistemas algo más complejos. Esfera cargada próxima a un plano conductor a potencial ceroVamos a obtener el campo eléctrico de una esfera cargada próxima a un plano conductor apotencial cero por el método de las imágenes mediante aproximaciones sucesivas. | Sustituiremos la esfera y el plano por una sucesión de cargas puntuales de signos contrarios que converge a cero rápidamente, y que hacen que las dos superficies (esfera y plano) sean equipotenciales.Supongamos que la esfera de radio r, está a un potencial V, y su centro dista d>r del plano a potencial cero.  |
Lospasos para aplicar el método de las imágenes son los siguientes: 1. Colocamos una carga q0 en el centro de la esfera. Esto hace que la superficie esférica de radio r esté a un potencial V. 2. Colocamos una carga –q0 a una distancia 2d del centro de la esfera. Esto hace que el plano sea una superficie equipotencial, pero ya no lo es la esfera.   3. Colocamos una carga q1 en el interior de laesfera. Calculamos el valor de q1 y su posición x1 para que la esfera sea una superficie equipotencial, aunque deje de serlo el plano  El potencial en A (-r, 0) debido a las cargas –q0 y q1 lo hacemos ceroEl potencial en B (r, 0) debido a las cargas –q0 y q1 lo hacemos ceroDespejamos q1 y x1 de este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 4. Colocamos una carga –q1 simétrica a q1 para elplano sea equipotencial, pero deja de serlo la superficie esférica   5. Colocamos una carga q2 en el interior de la esfera, para que esta sea equipotencial, aunque el plano deje de serlo El potencial en A (-r, 0) debido a las cargas –q1 y q2 lo hacemos ceroEl potencial en B (r, 0) debido a las cargas –q1 y q2 lo hacemos ceroDespejamos q2 y x2 en este sistema de dos ecuaciones con dosincógnitasContinuamos el proceso que converge rápidamente hasta que tenemos la precisión deseadaRelaciones recursivasPodemos calcular la sucesión de cargas qi y sus posiciones xi mediante las relaciones recursivasEjemplo:Tomamos d=3r, q0=1, y r=1 Paso i | Posición xi | Carga qi |
0 | 0 | 1 |
1 | 0.166667 | 0.16667 |
2 | 0.171429 | 0.02857 |
3 | 0.171569 | 0.00490 |
4 | 0.171573 | 0.00084 |
5 |0.171573 | 0.00014 |
Podemos sustituir la distribución de carga formada por una esfera de radio r y un plano a potencial cero situado a una distancia d>r del centro de la esfera, por una sucesión de cargas puntuales positivas situadas en la esfera y sus correspondientes cargas negativas situadas simétricamente respecto del plano. Esta sucesión tiende a cero rápidamente.Así la carga qi está en laposición xi y su simétrica –qi está en la posición 2d-xiLa carga total de la esfera esSolamente q1 contribuye al potencial de la esfera, las cargas -q1, q2 anulan el potencial de la esfera, y lo mismo ocurre con todos los restantes pares de cargas. El potencial de la esfera es, por tanto, V=q1/(4πє0)Campo y potencial producido por el conjunto de cargas puntualesCalculamos el campo y el potencial...