Método De Las Imágenes
Páginas: 7 (1633 palabras)
Publicado: 7 de mayo de 2012
Método de las imágenes
El método de las imágenes consiste en reemplazar un problema, que comprende uno o más conductores cargados estáticamente, con otro equivalente de cargas puntuales o lineales localizadas adecuadamente, (llamadas cargas imagen), que den precisamente el mismo campo electroestático que el problema original.
A continuación una ilustración del método.
[pic]Figura 1: Tres ejemplos de sistemas conductores cargados, cuyos campos exactos se obtienen a partir del sistema imagen (a).
Existen problemas de gran importancia física que se resuelven con el método pero la cantidad de configuraciones para conductores cargados que se puede resolver de esta manera es relativamente pequeña. Solo en ciertos casos es posible sustituir un conductor por una omás cargas puntuales, de modo que las superficies conductoras se sustituyen por superficies equipotenciales a los mismos potenciales
Explicación detallada
Si tenemos dos cargas [pic] y [pic] separadas a una distancia [pic] en el vacío como en la figura (1-a). El potencial combinado en cualquier posición [pic] esta dado por:
[pic] (1)
Para encontrar las superficiesequipotenciales se iguala (1) con potenciales constantes; en la figura (1-a) se muestra con líneas punteadas una familia de superficies equipotenciales que se obtuvieron de esta manera. Reemplazando el interior de las superficies equipotenciales por conductores de [pic] y [pic] como en la figura (1-b) no se puede alterar el campo [pic] exterior a los conductores. Más aún las cargas imágenes originales [pic]de la figura (1-a) aparecen como cargas superficiales en los conductores que dan un total de [pic], una conclusión a la que se llega de la Ley de Gauss. Consecuentemente, el sistema de cargas de la figura (1-a) da los campos deseados del sistema de dos conductores de la figura (1-b), para obtener las mismas soluciones de [pic] y [pic] fuera de los conductores en esta última.
En la figura(1-c) se muestra un sistema complementario, (un conductor dentro de otro); sus campos también se pueden obtener del sistema de imágenes de la figura (1-a).
Se puede ver que en el plano de simetría [pic] de la figura (1-a) es la superficie de potencial [pic], lo que se puede ver al igualar la expresión de potencial (1) a cero. Por lo tanto, si se ubica un conductor con la forma de una delas superficies equipotenciales a la derecha del plano conductor en [pic] como en la figura (1-d), una vez más el problema de imágenes de la figura (1-a) especifica el campo entre los conductores.
Herramientas matemáticas utilizadas: Ley de Gauss, Principio de Unicidad, Potencial escalar eléctrico. Con sus correspondientes operadores, presentes en el desarrollo del problema.
Principio deUnicidad
El método de las imágenes hace uso del Principio de Unicidad de las soluciones potenciales.
Una vez obtenida una solución a un problema de campo electroestático (por el medio que sea), es importante saber que sea la única solución posible; es decir, que es una solución única. El modelo matemático que proporciona la teoría del potencial sería poco útil si diera variassoluciones a un problema dado, entre las cuales tendría que verificarse la solución correcta del problema físico mediante experimentación o alguna otra manera.
Se puede demostrar que las soluciones de potencial de las siguientes clases de problemas de valor de frontera son únicas:
1 El problema de Dirichlet. Una solución potencial [pic] de la ecuación de Laplace es única si satisface unacondición especificada de frontera
[pic] (A)
en el límite cerrado S de la región.
2 El problema de Neumann. Una solución potencial [pic] de la ecuación de Laplace es única dentro de un valor constante si la derivada normal de [pic] satisface una condición especificada de frontera
[pic] (B)
en el límite cerrado S de la región.
3 El problema del valor de límite mezclado. Una...
El método de las imágenes consiste en reemplazar un problema, que comprende uno o más conductores cargados estáticamente, con otro equivalente de cargas puntuales o lineales localizadas adecuadamente, (llamadas cargas imagen), que den precisamente el mismo campo electroestático que el problema original.
A continuación una ilustración del método.
[pic]Figura 1: Tres ejemplos de sistemas conductores cargados, cuyos campos exactos se obtienen a partir del sistema imagen (a).
Existen problemas de gran importancia física que se resuelven con el método pero la cantidad de configuraciones para conductores cargados que se puede resolver de esta manera es relativamente pequeña. Solo en ciertos casos es posible sustituir un conductor por una omás cargas puntuales, de modo que las superficies conductoras se sustituyen por superficies equipotenciales a los mismos potenciales
Explicación detallada
Si tenemos dos cargas [pic] y [pic] separadas a una distancia [pic] en el vacío como en la figura (1-a). El potencial combinado en cualquier posición [pic] esta dado por:
[pic] (1)
Para encontrar las superficiesequipotenciales se iguala (1) con potenciales constantes; en la figura (1-a) se muestra con líneas punteadas una familia de superficies equipotenciales que se obtuvieron de esta manera. Reemplazando el interior de las superficies equipotenciales por conductores de [pic] y [pic] como en la figura (1-b) no se puede alterar el campo [pic] exterior a los conductores. Más aún las cargas imágenes originales [pic]de la figura (1-a) aparecen como cargas superficiales en los conductores que dan un total de [pic], una conclusión a la que se llega de la Ley de Gauss. Consecuentemente, el sistema de cargas de la figura (1-a) da los campos deseados del sistema de dos conductores de la figura (1-b), para obtener las mismas soluciones de [pic] y [pic] fuera de los conductores en esta última.
En la figura(1-c) se muestra un sistema complementario, (un conductor dentro de otro); sus campos también se pueden obtener del sistema de imágenes de la figura (1-a).
Se puede ver que en el plano de simetría [pic] de la figura (1-a) es la superficie de potencial [pic], lo que se puede ver al igualar la expresión de potencial (1) a cero. Por lo tanto, si se ubica un conductor con la forma de una delas superficies equipotenciales a la derecha del plano conductor en [pic] como en la figura (1-d), una vez más el problema de imágenes de la figura (1-a) especifica el campo entre los conductores.
Herramientas matemáticas utilizadas: Ley de Gauss, Principio de Unicidad, Potencial escalar eléctrico. Con sus correspondientes operadores, presentes en el desarrollo del problema.
Principio deUnicidad
El método de las imágenes hace uso del Principio de Unicidad de las soluciones potenciales.
Una vez obtenida una solución a un problema de campo electroestático (por el medio que sea), es importante saber que sea la única solución posible; es decir, que es una solución única. El modelo matemático que proporciona la teoría del potencial sería poco útil si diera variassoluciones a un problema dado, entre las cuales tendría que verificarse la solución correcta del problema físico mediante experimentación o alguna otra manera.
Se puede demostrar que las soluciones de potencial de las siguientes clases de problemas de valor de frontera son únicas:
1 El problema de Dirichlet. Una solución potencial [pic] de la ecuación de Laplace es única si satisface unacondición especificada de frontera
[pic] (A)
en el límite cerrado S de la región.
2 El problema de Neumann. Una solución potencial [pic] de la ecuación de Laplace es única dentro de un valor constante si la derivada normal de [pic] satisface una condición especificada de frontera
[pic] (B)
en el límite cerrado S de la región.
3 El problema del valor de límite mezclado. Una...
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