Método de los desplazamientos

INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS

El método consiste en asignar a la estructura de barras un objeto matemático, llamado matriz de rigidez, que relaciona los desplazamientos de un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las componentes de esta matriz son fuerzas generalizadasasociadas a desplazamientos generalizados). La matriz de rigidez relaciona las fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura, mediante la siguiente ecuación:
(1)

Donde: son las fuerzas nodales equivalentes asociadas a las fuerzas exteriores aplicadas sobre la estructura; son las reacciones hiperestáticas inicialmente desconocidas sobre la estructura;los desplazamientos nodales incógnita de la estructura y el número de grados de libertad de la estructura.
La energía de deformación elástica también puede expresarse en términos de la matriz de rigidez mediante la relación:

Del teorema de Maxwell-Betti se deduce que la matriz de rigidez debe ser simétrica y por tanto:
.


METODO DE LAS RIGIDECES O DESPLAZAMIENTOS (grado deindeterminación cinemática).
En este método se obtiene, primero, una estructura modificada, bloqueando los desplazamientos de todos los nudos que son fáciles de analizar. Luego, se superponen otras soluciones complementarias para determinar los verdaderos desplazamientos que ocurren en los nudos. El número de ecuaciones a resolver es igual al número del grado de indeterminación cinemática. Primero seaplica el principio de compatibilidad y luego el de equilibrio.
En este método se trabaja con los tres tipos de ecuaciones mencionados aplicadas a los nudos de la estructura dejando como incógnitas los desplazamientos de los grados de libertad libres. Notamos que es una forma completamente distinta de trabajar, pero que analizando más detenidamente es simplemente el método de los nudos.
Veamos enuna estructura simple como se plantean las ecuaciones en los nudos. Para esto representaremos cada elemento como un resorte susceptible de deformarse axialmente.

Se dan los datos del ejercicio:
K1=2 kLb/pul, K2=1 kLb/pul K3=1 kLb/pul θ=45º P=4kLb
Esta estructura tiene 3 redundantes, por lo tanto es estáticamente indeterminada.
En vista de que el métodotrabaja con los nudos, entonces planteamos los tres tipos de ecuaciones en los nudos, no se toman los apoyos ya que en ellos no hay ecuaciones de compatibilidad.
Ecuaciones de equilibrio:
Nudo B


Nudo C


Las ecuaciones de Fx corresponden a grados de libertad libres y las de Fy corresponden a grados de libertad restringidos.

 Métodos matriciales. Consiste en remplazar laestructura continua real por un modelo matemático de elementos estructurales finitos, cuyas propiedades pueden expresarse en forma matricial. El proceso de análisis se puede considerar como:

• Acción sobre la estructura
• Acción sobre los elementos
• Respuesta de los elementos
• Respuesta de la estructura













Los métodos matriciales tienen dos grandes variantes: el método dela flexibilidad en el cual las incógnitas son las fuerzas y el método de la rigidez en el cual las incógnitas son los desplazamientos. Este enfoque se trabaja en todos los métodos del análisis estructural. Sin embargo, por ventajas computacionales el método de la rigidez ha ganado más aceptación.



 Principios del análisis matricial: Las relaciones fundamentales del equilibriocompatibilidad, fuerza-desplazamiento se mantienen vigentes.
 Modelo analítico: La estructura se considera un montaje de miembros rectos conectados en sus extremos a nodos. Un miembro (o elemento) se define como una parte de la estructura para la cual las relaciones fuerza-desplazamiento de los miembros que se van a usar en el análisis son válidas. Un nodo se define como una parte estructural de tamaño...