Método De Newton - Raphson

Método de Newton - Raphson
Este método se puede obtener mediante el siguiente gráfico:
[pic]
Si el valor inicial de la raíz es xi , podemos trazar una tangente desde el punto { xi, f(xi) }.
El punto donde está tangente cruza el eje x, representa una aproximación de la raíz.
De la figura la primera derivada es x , es equivalente a la pendiente.
f´(x) = f(xi) - 0
xi - xi + 1
Reordenando:Xi +1 = xi - f(xi) Fórmula de Newton-Raphson
f´( xi )
Método Newton-Rapshon multivariable
Supóngase que se está resolviendo el sistema:
f1 = (x,y)= 0
f2 = (x,y) =0
donde ambas funciones son contínuas y diferenciables, de modo que puedan expanderse en serie de Taylor alrededor del punto (a,b):
[pic]
Expandiendo fi alrededor de :
[pic]
de manera similar puede expresarse f2 donde todas lasderivadas parciales están evaluadas en (xk,yk).
Considerando que la diferencia entre la aproximación actual y anterior es cero, obtenemos:
[pic]
Si definimos que
Xk+1 - xk = h (3.22)
Yk+1 -yk = j
Reordenando
Xk+1 = xk+h
Yk+1 = yx+j (3.23)
Sustituyendo la ec.( 3.22) en la ec.(3.21)
[pic]
Esto representa un sistema de ec. lineales con incógnitas h y j.
El sistema lineal tiene solución siel determinante de la matriz de coeficientes o matriz Jacobiana J es diferente de cero.
[pic]






































ALGORITMO DE CÁLCULO DEL METODO DE NEWTON RAPHSON MULTIVARIABLE

1.- Proporcionar las funciones [pic] , [pic] y [pic] y las derivadas parciales.
2.- Leer los valores iniciales así como el número máximo de iteraciones y latolerancia (Xo y Yo).
3.- Calcular las funciones y las derivadas parciales evaluadas en (Xo, Yo).
4.- Calcular el Jacobiano.
5.- Si el Jacobiano es diferente de cero ir al paso 6; en caso contrario terminar.
6.- Calcular (x y (y.
7.- Calcular los nuevos valores de X y de Y.
8.- Imprimir numero de iteraciones y X y Y.
9.- Si [pic][pic][pic]≤ tolerancia o [pic] (X[pic][pic]≤ tolerancia;entonces imprimir: “ solución = “, X, Y ; y terminar; en caso contrario terminar.
10.- Hacer Xo= X
Yo=Y
11.- Regresar al paso 3.
12.- Terminar.


Otro método seria un corto:

1) Lineal izar las ecuaciones no lineales para formar un sistema de ecuaciones lineales.
2) Definir las condiciones iniciales mas próximas a la raíz que puede obtenerse mediante el grafico de la función,cuando esto sea posible.
3) Evaluar [pic] , [pic] y [pic] , en las condiciones iniciales dadas.

4) Encontrar (x y (y, resolver los determinantes Jacobianos.
5) Despejar el valor de X[pic]+1 y Y[pic]+1 de los valores encontrados para (x y (y.
6) Regresar al paso 3 en caso que no se satisfaga el error específico.EJERCICIO:
4.2 La presión requerida para sumergir un objeto pesado y grande en un terreno suave y homogéneo, que se encuentra sobre un terreno de base dura, puede predecirse a partir de la presión requerida para sumergir objetos mas pequeños en el mismo suelo.*En particular, la presión p requerida para sumergir una lamina circular de radio r, a una distancia d, en elterreno suave, donde el terreno de base dura se encuentra a una distancia D > d debajo de la superficie, puede aproximarse mediante una ecuación de la forma:
[pic]
Donde [pic] son constantes que, con [pic] , dependen de d y la consistencia del terreno, pero no del radio de la lamina.
a) Encuentre los valores de [pic], si se supone que una lamina de radio de 1 pulgada requiere una presiónde 10 Ib./pul² para sumergirse 1 pie en el terreno lodoso, una lamina de radio 2 pulgadas requiere una presión de 12 Ib./pul² para sumergirse1 pie; y una lamina de radio 3 pulgadas requiere una presión de 15 Ib./pul² (suponiendo que el lodo tiene una profundidad mayor que 1 pie).

b) Use los cálculos de a) para predecir cual es la lamina circular de radio mínimo que se necesitaría para...