Método Gráfico

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Método Gráfico
El último método que estudiaremos es el más sencillo.
Se trata de considerar a la ecuación como una máquina que transforma los números. Para eso,
crearemos una función.
Función (Definición Informal)
Es una máquina en forma de una fórmula que nos ayuda a transformar los números. Nosotros le damos
un valor y la máquina nos devuelve a lo más otrovalor. Es posible que nosotros le demos un valor y ella
no nos devuelva valor alguno, pero no es posible que cuando le demos un valor la máquina nos devuelva
más de uno.

Definición
1

Los valores que la máquina puede transformar, o sea, los valores que nosotros le vamos a dar a
la máquina forman un conjunto que se llama dominio de la función. Los valores que la máquina
nos devuelve formanotro conjunto que se llama rango o contradominio de la función.
Para entender mejor este concepto, puedes ver el diagrama que estudiamos en la sección ?? en la
página ??.
Algunos ejemplos de funciones son:
 f (x) = 1 − 2 x

 h( x ) =

 g( x ) = x2

 y=

√

x+1

1
x

A partir de la ecuación a x2 + b x + c = 0, creamos la función: y = a x2 + b x + c.
Vamos a graficar estafunción y después vamos a encontrar los puntos donde la gráfica de la
función corta al eje x, porque precisamente en el eje x, y = 0.
Por el método gráfico, resuelve la ecuación:
Ejemplo 1

x2 − 1 = 0

• Lo que deseamos encontrar son los valores de x para los cuales x2 − 1 se hace cero.
• Pero x2 − 1 = 0 en palabras nos dice: «pensé un número, lo multipliqué por sí mismo, le resté uno
y obtuvecero».
• Entonces, antes de restar 1, tenía 1, porque la diferencia fue cero.
x2 = 1
• Ahora la ecuación transformada dice: «pensé un número, cuando lo multipliqué por sí mismo
obtuve uno».
• Aquí la solución inmediata es x = 1.
• Pero si piensas un poco más, te darás cuenta que x = −1 también es solución, porque:
(−1)2 = 1.
• Los valores que deseabamos encontrar son: x = 1 y x = −1.
•Ahora podemos graficar la función: y = x2 − 1.
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y
y = x2
y = x2 − 1

6
5
4
3
2
1

−3 −2 −1 0
−1

1

2

3

x

• De la gráfica podemos ver que las intersecciones sobre el eje x son:
x1
x2

= 1
= −1

• Nosotros buscamos los puntos donde la gráfica corta al eje x, porque sobre este eje y = 0, y
tenemos enesos casos, la solución de la ecuación.

Observa que este método solamente funciona cuando tenemos una ecuación que tiene soluciones
reales.
Porque si la gráfica de la función no corta al eje x, entonces no podremos decidir qué valores de
x hacen que la ecuación se haga cero.
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:
x2 − 4 x + 1 = 0

Ejemplo 2
por el método gráfico.

• Empezamosgraficando la función: y = x2 − 4 x + 1
• Para graficar, empezamos calculando las coordenadas de los puntos a partir de unos valores
de x:

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y

y = x2 − 4 x + 1

5
4
x

x2 − 4 x + 1

3

0
1
2
3
4

1
−2
−3
−2
1

2
1
x1

x2

−1 0
−1

1

2

3

6

x

√
x1 = 2 + √3
x2 = 2 − 3

−2
−3

54

V (2, −3)

• Como el vértice se encuentra en el punto (2, 3), podemos escribir la ecuación de la forma:
x 2 − 4 x + 1 = ( x − 2)2 − 3 = 0
• Para verificarlo, puedes desarrollar el binomio al cuadrado.
• ¿Cómo obtuvimos este resultado? Usamos el método de factorización.
• En este caso completamos el cuadrado perfecto:
x2 − 4 x + 1

= ( x 2 − 4 x + 1) + (4 − 4)
= ( x 2 − 4 x + 4) +(1 − 4)
= ( x − 2)2 − 3

• Observa que si x = 2, el binomio elevado al cuadrado tiene su mínimo valor: ( x − 2)2 = 0.
• Y en ese caso, la gráfica pasa por el punto (2, −3). Este punto es el vértice de la parábola.
• Para resolver la ecuación podemos utilizar el método de despeje:

( x − 2)2 − 3 = 0
√
x−2 = ± 3

⇒
⇒

( x − 2)2 = 3
√
x = 2± 3

• Estas son las raíces que se...