Métodos Computacionales Avanzados

U.A.N.L
Facultad de Ciencias de la Tierra

Métodos Computacionales Avanzados


M.T. Artemio Alvarado

Mariel Gallo de la Paz 1537546



Linares, Nuevo León Ex-HaciendaGuadalupe 03 de Mayo del 2012

INTRODUCCIÓN
La factorización o descomposición de Cholesky recibe este nombre gracias al matemático André-Louis Cholesky, quien encontró que una matriz simétricadefinida positiva puede descomponerse en una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior; esta factorización es una manera de resolver sistemas de ecuaciones matriciales,tenemos la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones, llamada A
La matriz triangular inferior es el triángulo de Cholesky de la matriz original positiva definida. El resultado de Cholesky hasido extendido a matrices con entradas complejas. Es una manera de resolver sistemas de ecuaciones matriciales y se deriva de la factorización LU con una pequeña
Como se menciona anteriormente unaconición principal para el uso de esta factorización es que sea simétrica y definida positiva. Si cumple podemos tratar de factorizarla la forma A = L*LT, cuando la tenemos factorizada ya podemosresolver el sistema de ecuaciones.
Procedimiento:
Primero debemos resolver Ly = b y entonces resolver   para lograr x.
Una variante de la factorización de Cholesky es de la forma  , donde R es unamatriz triangular superior, en algunas aplicaciones se desea ver la matriz en esa forma y no de otra.
Para encontrar la factorización  , observamos  L y vemos las ecuaciones resultantes del l productoal igualar elementos:

obteniendo:
 
a11 = l112


a21 = l21l11


a22=l212 + l222


a32=l31l21+l32l22

l32=(a32-l31l21)/l22, etc. 
y de manera general, para  y :

Ahora bien, yaque A es simétrica y definida positiva, podemos asegurar que los elementos sobre la diagonal de L son positivos y los restantes elementos reales desde luego.
Una de las aplicaciones de la factorización...