Métodos De Demostración

Cómo hacer demostraciones
Lic. Ramiro Choque C. April 5, 2007

Contenido
1 Introducción 2 Elementos de un problema por demostrar 2.1 Hipótesis y tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Interpretación simbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Demostración 3.1 Vacuidad . . . . . 3.2 Trivial . . . . . . 3.3 Directa . . . . . . 3.4 Contrarrecíproca 3.5Bicondicional . . 3.6 Contradicción . . 3.7 Casos: p ∨ q ⇒ r 3.8 p ⇒ q ∨ r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 4 4 5 5 6 7 8 9 9 10 10 11 11 11 12 12 13 144 Demostraciones cuantificadas 4.1 Movimiento de cuantificadores . 4.2 Existenciales . . . . . . . . . . . 4.2.1 Pruebas constructivas . . 4.2.2 Pruebas no constructivas 4.3 Existencia y unicidad . . . . . . 4.4 Contraejemplos . . . . . . . . . 4.5 Reducción del radio de acción . 4.6 Especificación universal . . . . . 1

4.7 Inducción Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.8Prueba empleando razonamiento regresivo . . . . . . . . . . . 16

1

Introducción

En Matemática esencialmente existen dos tipos de problemas a saber, problemas por resolver y problemas por demostrar. Las demostraciones están asociadas a los problemas por demostrar. Una demostración es un proceso con el cual justificamos una cierta afirmación. Por ello uno debe poder leer, entender y escribirdemostraciones. Para poder realizar demostraciones se debe aplicar razonamiento natural basado en la lógica, principios y algunas técnicas llamados ”métodos de demostración”. Lo que se demuestra son afirmaciones en una cierta teoría que tiene principios (axiomas, definiciones, teoremas, etc.)

2

Elementos de un problema por demostrar

Los objetos con los que procesamos en los problemas pordemostrar son las afirmaciones, enunciados o proposiciones. Lo que se desea establecer es que cierta afirmación P es válida es una cierta teoría mediante razonamientos válidos. Si se logra este hecho, decimos que el enunciado P es un teorema, y a la sucesión de razonamientos que se realiza para establecer P , es llamado demostración, la sucesión mencionada es utilizando la regla de inferencia ModusPonens, que la forma estandar, natural y directo de razonar. La proposición P esencialmente es de la forma simple p, o bien compuesta p ∧ q, p ∨ q, p ⇒ q, p ⇔ q, que a excepción de la primera, las otras se pueden expresar como una implicación. En efecto, p ∨ q ≡∼ p ⇒ q, p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p). Todo problema por demostrar se expresa en términos de hipótesis y tesis o conclusión, y esto sonllamados elementos de un problema por demostrar.

2.1

Hipótesis y tesis

Si tenemos un enunciado P relativa a una teoría, la hipótesis de P es todo lo que se ha establecido previamente a P . El enunciado P es la tesis del problema, y en general, es lo que queremos demostrar, y cuando se logre esto será un teorema, esto es, un teorema es una afirmación que posee una 2

demostración. Cuandoestamos inmerso en una teoría y construimos una afirmación el cual se mantiene como cierta y se utiliza sin demostración, lo llamaremos una conjetura. Veamos algunos ejemplos donde el objetivo es identificar la hipótesis y la tesis. Teorema 1. 1 > 0 ¿Cuál es la hipótesis? ¿Cuál es la tesis? La hipótesis a este teorema es toda la teoría desarrollada de los números reales que antecede. Lo que se debe...