Métodos De Integracion
Páginas: 11 (2631 palabras)
Publicado: 20 de noviembre de 2012
CURSO DE CÁLCULO INTEGRAL
UNIDAD 3. METODOS DE INTEGRACION
3.1. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN o CAMBIO DE VARIABLE. En muchas ocasiones,
cuando la integración directa no es tan obvia, es posible resolver la integral simplemente con hacer un
cambio de variable adecuado; este procedimiento se conoce como integración por sustitución.
El teorema fundamental del cálculo en la forma
Ec. 1implica que podemos evaluar fácilmente la integral definida de la izquierda si podemos determinar la
integral indefinida (es decir, la primitiva) de la derecha. Analizaremos ahora un método poderoso para
calcular la primitiva que equivale a "la regla de la cadena en orden inverso". Este método es una
generalización a la "regla de la potencia generalizada en orden inverso",
Ec. 2
La ecuaciónanterior es una abreviatura para la fórmula
Ec. 3
Que resulta de escribir
Así, para aplicar la ecuación (2) a una integral dada, debemos ver al integrando como el producto de
una potencia de una función diferenciable g(x) y su deriva g'(x).
Para aplicar este método de integración, se recomiendan los siguientes pasos:
1) Sea u = g(x)
du= g´(x) dx
(Después de esta manipulación solamente debeaparecer la letra u, no la letra x)
2) Hállese una primitiva (como expresión en u)
3) Sustitúyase u de nuevo por g(x)
Los siguientes ejemplos se resuelve por el método de sustitución o cambio de variable.
Ejemplo 1. Evalúe ∫ √
Solución: Sea u=2x+1. Entonces
;
1
De esta forma, la regla de sustitución da
∫√
∫√
∫
Ejemplo 2. Evalúe.
Solución:
Ejemplo 3. Evalúe
∫
Sea u = 1+x2
du= 2xdx
El factor 2 que aparece se elimina poniendo que la integral es dividida por 2:
∫
Ejemplo 4. Evalúe.
2
Ejemplo 5. ∫
Hacemos que u= sen x
du/dx= -cos x
Por tanto
du= -cos x dx
Entonces
∫
∫
Ejemplo 6. Evaluar ∫
Hacemos la equivalencia ∫
∫
Así u = cos x
du/dx = sen x entonces du = sen x dx
Sustituyendo
∫
Ejemplo 7. Evaluar ∫
Hacemos que u=log x,
Derivando
Por tanto
Sustituyendo
∫
Ejemplo 8.
3
∫
∫
∫
*
=∫
=
(
+
–)
Ejemplo 9
∫
∫
∫
=∫
=
Ejemplo 10.
∫
4
∫
=3∫
∫
∫
∫
=
=
Ejemplo 11.
∫
∫
∫
5
Ejemplo 12.
∫
Si
También tenemos que x = u-1
∫
∫
∫
Sustituyendo el valor de x:
∫
∫(
)
∫(
)
∫
∫
Ejemplo 13.
∫
Sustituimos au, también la x2 en el ejemplo a resolver:
∫
∫
(
)
∫
6
Ejemplo 14.
∫
∫
∫
∫
Ejemplo 15.
∫
7
∫
(
)
∫
∫
8
3.2. INTEGRACIÓN POR PARTES. La fórmula para la "integración por partes", se deduce a partir
de la regla de la derivada de un producto de funciones continuas. De las fuentes consultadas, sugieren
dos procedimientos de resolver laintegración por partes:
1er. “Procedimiento”:
En este procedimiento, la forma acostumbrada de escribir las funciones f(x), g(x), se abrevian como f, g
Al abreviar f, g:
(fg)´= f´g + fg´
Despejando
fg´=(fg)´- f´g
La sugerencia es utilizar este procedimiento cuando la función a integrar puede considerar como el
producto de una función f, por otra función que se vea claramente que es de laforma g´. Nota la
función f se selecciona previendo que su derivada es más sencilla. Veamos dos ejemplos:
1er. Ejemplo
Observar que que si f = x, entonces f´=1
Además, si g´=ex , entonces g = ex
En los ejemplos que veremos a continuación se aplica el mismo procedimiento.
2do. Ejemplo:
Hay dos artificios sugeridos en los siguientes tipos de integración. El primero consiste en considerar la9
función g´ como igual a 1:
3er. ejemplo
El segundo artificio consiste en utilizar la integración por partes para hallar ∫
de ∫ , y después despejar ∫ en la ecuación resultante.
4to. Ejemplo:
Pasamos la integral
Al primer miembro de la ecuación
Para finalmente obtener el resultado deseado
A veces se requiere una estimación más complicada,
5to. Ejemplo:
10
en...
UNIDAD 3. METODOS DE INTEGRACION
3.1. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN o CAMBIO DE VARIABLE. En muchas ocasiones,
cuando la integración directa no es tan obvia, es posible resolver la integral simplemente con hacer un
cambio de variable adecuado; este procedimiento se conoce como integración por sustitución.
El teorema fundamental del cálculo en la forma
Ec. 1implica que podemos evaluar fácilmente la integral definida de la izquierda si podemos determinar la
integral indefinida (es decir, la primitiva) de la derecha. Analizaremos ahora un método poderoso para
calcular la primitiva que equivale a "la regla de la cadena en orden inverso". Este método es una
generalización a la "regla de la potencia generalizada en orden inverso",
Ec. 2
La ecuaciónanterior es una abreviatura para la fórmula
Ec. 3
Que resulta de escribir
Así, para aplicar la ecuación (2) a una integral dada, debemos ver al integrando como el producto de
una potencia de una función diferenciable g(x) y su deriva g'(x).
Para aplicar este método de integración, se recomiendan los siguientes pasos:
1) Sea u = g(x)
du= g´(x) dx
(Después de esta manipulación solamente debeaparecer la letra u, no la letra x)
2) Hállese una primitiva (como expresión en u)
3) Sustitúyase u de nuevo por g(x)
Los siguientes ejemplos se resuelve por el método de sustitución o cambio de variable.
Ejemplo 1. Evalúe ∫ √
Solución: Sea u=2x+1. Entonces
;
1
De esta forma, la regla de sustitución da
∫√
∫√
∫
Ejemplo 2. Evalúe.
Solución:
Ejemplo 3. Evalúe
∫
Sea u = 1+x2
du= 2xdx
El factor 2 que aparece se elimina poniendo que la integral es dividida por 2:
∫
Ejemplo 4. Evalúe.
2
Ejemplo 5. ∫
Hacemos que u= sen x
du/dx= -cos x
Por tanto
du= -cos x dx
Entonces
∫
∫
Ejemplo 6. Evaluar ∫
Hacemos la equivalencia ∫
∫
Así u = cos x
du/dx = sen x entonces du = sen x dx
Sustituyendo
∫
Ejemplo 7. Evaluar ∫
Hacemos que u=log x,
Derivando
Por tanto
Sustituyendo
∫
Ejemplo 8.
3
∫
∫
∫
*
=∫
=
(
+
–)
Ejemplo 9
∫
∫
∫
=∫
=
Ejemplo 10.
∫
4
∫
=3∫
∫
∫
∫
=
=
Ejemplo 11.
∫
∫
∫
5
Ejemplo 12.
∫
Si
También tenemos que x = u-1
∫
∫
∫
Sustituyendo el valor de x:
∫
∫(
)
∫(
)
∫
∫
Ejemplo 13.
∫
Sustituimos au, también la x2 en el ejemplo a resolver:
∫
∫
(
)
∫
6
Ejemplo 14.
∫
∫
∫
∫
Ejemplo 15.
∫
7
∫
(
)
∫
∫
8
3.2. INTEGRACIÓN POR PARTES. La fórmula para la "integración por partes", se deduce a partir
de la regla de la derivada de un producto de funciones continuas. De las fuentes consultadas, sugieren
dos procedimientos de resolver laintegración por partes:
1er. “Procedimiento”:
En este procedimiento, la forma acostumbrada de escribir las funciones f(x), g(x), se abrevian como f, g
Al abreviar f, g:
(fg)´= f´g + fg´
Despejando
fg´=(fg)´- f´g
La sugerencia es utilizar este procedimiento cuando la función a integrar puede considerar como el
producto de una función f, por otra función que se vea claramente que es de laforma g´. Nota la
función f se selecciona previendo que su derivada es más sencilla. Veamos dos ejemplos:
1er. Ejemplo
Observar que que si f = x, entonces f´=1
Además, si g´=ex , entonces g = ex
En los ejemplos que veremos a continuación se aplica el mismo procedimiento.
2do. Ejemplo:
Hay dos artificios sugeridos en los siguientes tipos de integración. El primero consiste en considerar la9
función g´ como igual a 1:
3er. ejemplo
El segundo artificio consiste en utilizar la integración por partes para hallar ∫
de ∫ , y después despejar ∫ en la ecuación resultante.
4to. Ejemplo:
Pasamos la integral
Al primer miembro de la ecuación
Para finalmente obtener el resultado deseado
A veces se requiere una estimación más complicada,
5to. Ejemplo:
10
en...
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