Métodos De Integracion

Tema Métodos de Integración

La Integración consiste en determinar una función cuya derivada se conoce. El proceso de obtener esta función a partir de la derivada se llama antiderivación o integración de una función.

Definición 1.Una función F ( x ) para la cual

d [ F ( x ) ] = f ( x ) , para todo dx

x ∈ Dom f ( x ), se dice que es una antiderivada o integral de f.
Ejemplo :

Sea f( x ) = ex entonces la antiderivada se puede verificar que esta dada por F ( x ) = ex + c donde c ∈ℜ. Esto significa que existe una familia de curvas que satisfacen la condición de ser la antiderivada o integral de la función f ( x ) = ex

c=1 c=0 c=0

c=-1

Profesor: Hernán Carrasco Monge

Podemos estudiar que relación existe entre más de una primitiva, para ello consideramos dosfunciones primitivas de la función f ( x ):
d [ F( x) ]= f ( x ) y dx d [ G ( x ) ] = f ( x ) de manera dx

que G ( x ) ≠ F ( x ) luego podemos generar una nueva función que denotaremos por R ( x ) = F ( x ) - G( x ), la cual es no nula, continua y además derivable. En consecuencia se cumplen las condiciones del teorema del Valor Medio en un intervalo [ a , b ], donde las funciones están definidas.Luego se tiene R´ ( x ) = R( b ) − R( a ) , como R ( b ) ≠ R ( a ) y a ≠ b entonces R´( c ) ≠ b−a

0, pero R´ ( x ) = F´ ( x ) - G´ ( x ) = f ( x ) - f ( x ) ⇒ R´ ( x ) = 0, esto significa que R ( x ) = constante y por tanto se tiene que c = F( x ) - G ( x ), luego G ( x ) = F ( x ) + c . Luego hemos demostrado que dos primitivas de la función fg ( x ) difieren en un constante.

Notación :a).- Si g ( x ) es la primitiva de f ( x ) entonces la integral de f ( x ) la denotaremos por :

∫
b).-

f ( x ) dx = G( x )+ c⇔

d [ G ( x ) + c ] ∀ x, x ∈Domf , c ∈ ℜ. dx

∫

f ( x)dx = G( x)+ c

integral integrando

variable de integración

primitiva

constante de integración

Profesor: Hernán Carrasco Monge

2

Observación :

a).-

∫

d ( f ( x )) d x = f ( x ) +c ( Integración es la inversa de la derivación ) dx

b).-

d dx

[ ∫ f ( x ) dx ] = f ( x )

( derivación es la inversa de la integración)

Propiedades de las Integrales

a.-

∫ [ f ( x ) ± g( x ) ] d x = ∫ ∫

f ( x)dx ±

∫

g( x ) d x

b.-

k f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx

Algunas Integrales Básicas

a.-

∫

dx= x+ c

b.-

∫

xn d x =

xn + 1 + c si n ≠ − 1 n+1c.-

∫
∫
∫

ex dx= ex + c dx 1 x = arctg ( ) + c 2 a +x a a
2

d.-

∫ ∫
∫

dx = Ln ( x ) + c x dx = arctg ( x ) + c 1 + x2

f.-

g.-

h.-

Cos ( x ) d x = Sen ( x ) + c

i.-

Sen ( x ) d x = − Cos ( x ) + c

Profesor: Hernán Carrasco Monge

3

Ejemplos :

a.-

Calcular las integrales:

1.2.Solución

∫
∫

x3 dx dx 4+ x2

∫
∫
b.-

x3 dx = dx = 4+x2

x4 +c 4 1 x arctg ( ) + c 2 2

n=3

a=2 dy = 2x−5 y dx

Obtener la ecuación de la curva cuya pendiente es

que

pasa por el punto ( 5 , 4 ).

Solución

Para determinar la función que representa a la curva, debemos integrar ambos términos de la identidad dy = 2 x − 5 , con lo cual se obtiene : dx

∫(

dy ) d x = ∫ ( 2 x − 5 ) d x , luego y = x 2 − 5 x + k , pero el punto ( 5, 4 ) satisface la ecuación dx

de la curva, entonces 4 = 25 - 25 + k ⇒ k = 4 f ( x ) = x2 −5 x+ 4

Profesor: Hernán Carrasco Monge

4

c.-

Obtener la ecuación de la curva para la cual y´´ ( x ) = 6 x 2 y que

pasa por los puntos ( 0 , 2 ) y ( -1 , 3 ).

Solución

3 y´´ ( x ) = 6 x 2 ⇒ y´ ( x ) = 2 x + C1

y´ ( x ) = 2 ∫ x 3 d x + C1 ∫ d x + C2 y´ ( x ) =

x4 + C1 x + C2 2Pero la curva pasa por los puntos ( 0 , 2 ) y ( -1 , 3 ) luego estos satisfacen la ecuación y por lo tanto podemos obtener los valores de C1 y C2 . En efecto : ( 0 , 2 ) ∈ζ ⇒ C2 = 2 , luego la función toma la forma : y = ( -1 , 3 ) ∈ζ ⇒ 3 = 1 − C1 + 2 , luego 2 C1 =

x4 + C1 x + 2 2

−1 . En consecuencia la curva pedida es : y 2

=

1 x4 − x+2 2 2

Teorema

Sean f y g funciones...