Métodos de solución de ecuaciones lineales

Instituto Tecnológico de Saltillo

Ingeniería en Sistemas Computacionales
Métodos de solución de ecuaciones lineales

Ing. Omar Sánchez Jácome
Métodos Numéricos
Clase 15:00 – 16:00


Equipo:
Jesús Pablo Ordoñez Torres
Fermín Alejandro Silva Agustín
Sergio Iván García Cuevas



22 de octubre de 2012

Índice
Contenido








Introducción
El presente trabajo tienecomo objetivo, comprender la importancia del estudio de las matrices de sus métodos de los grandes autores como Gabriel Cramer y Carl Friedrich Gauss, en donde presentaremos la regla de Cramer que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes, y dando un ejemplo de cómo realizar ese método y la biografía de su autor Gabriel Cramer, el trabajo también presentara elmétodo de la Gaussiana simple o eliminación Gaussiana se aplica para resolver sistemas lineales de la forma: A*X = B. Consiste en escalonar la matriz aumentada del sistema aumentado, el método de Gauss Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, también el trabajo mostrara la biografía del autor, el trabajo mostrara el método de lainversa que son una serie de algoritmos para llegar a su objetivo, mostraremos un ejemplo y por ultimo mostraremos el método de Gauss Seidel que puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz y mostraremos un ejemplo.












Método de Cramer
Gabriel Cramer (1704 – 1752) nació en Ginebra, Suiza, en donde transcurrió toda su existencia.Permaneció soltero, viajo profusamente, enseño en la Academia de Clavin, y participo de manera activa en asuntos cívicos.
La regla para resolver sistemas de ecuaciones lineales apareció en un apéndice de su libro Introducción à l´analyse des lignes cowrbes algebriques, publicado en 1750.La regla ya era conocida por otros matemáticos, pero no se había difundido ni explicado con claridad, basta suaparición en esta obra de Cramer, que tuvo mucha influencia en los círculos matemáticos.
A11X1 + A12X2+…. +A1nXn = b1
A21X1 + A22X2+…. +A2nXn = b2
An1X1 + An2X2+….+AnnXn = bn

Un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas y A = [aij] la matriz de coeficientes de modo que podemos escribir el sistema dado como Ax = b donde
B =
Si del (A) ≠ 0, el sistema tiene como solución única
X1 = , X2 =,……, Xn =
Donde A, es la matriz que se obtiene a partir de A, reemplazando su i-esima columna por b.


Ejercicio


Paso 1
Determinante principal (DP) Está formado solo por los coeficientes de las incógnitas.

Paso 2
Determinante para x1 (Dx1) Es como el determinante principal, pero se cambia la primera columna, anotando en lugar de los coeficientes, los términos independientes.

Paso 3Determinante para x2 (Dx2) Es como el determinante principal, pero se cambia la segunda columna, anotando en lugar de los coeficientes, los términos independientes.

Paso 3
Determinante para x3 (Dx3) Es como el determinante principal, pero se cambia la tercera columna, anotando en lugar de los coeficientes, los términos independientes.

Paso 4
Valores de las incógnitas Se obtienen dividiendocada determinante de x1, x2 y x3 entre el determinante principal:


Eliminación gaussiana
Procedimiento
Se reduce por renglón la matriz de coeficientes a la forma escalonada por renglones, se despeja el valor de la última incógnita y después se usa la sustitución hacia atrás para las demás incógnitas.

Ejemplo
X1 + 3X2 -5X3 + X4 = 4
2X1 + 5X2 -2X3 + 4X4 = 6

Solución Este sistema seescribe como una matriz aumentada y se reduce por renglones:
 R-2  R-2 -3R1  R-2  -R-2

 R-1  R-1 -3R2

Hasta aquí se puede llegar. La matriz de coeficientes esta en forma escalonada reducida por renglones. Es evidente que existe un número infinito de soluciones. Los valores las variables X3 y X4 se pueden escoger de manera arbitraria....