MÉTODOS ITERATIVOS.
Páginas: 2 (362 palabras)
Publicado: 15 de noviembre de 2013
III.6 MÉTODOS ITERATIVOS.
III.7 NECESIDAD
El método de Gauss y sus variantes se conocen con el nombre de métodos directos: se ejecutan a través de un número finito de pasos y dan lugar a unasolución que sería exacta si no fuese por los errores de redondeo.
Por contra, un método indirecto da lugar a una sucesión de vectores que idealmente converge a la solución. El cálculo se detienecuando se cuenta con una solución aproximada con cierto grado de precisión especificado de antemano o después de cierto número de iteraciones. Los métodos indirectos son casi siempre iterativos: paraobtener la sucesión mencionada se utiliza repetidamente un proceso sencillo.
CONCEPTOS BÁSICOS
En general, en todos los procesos iterativos para resolver el sistema Ax=b se recurre a una ciertamatriz Q, llamada matriz descomposición, escogida de tal forma que el problema original adopte la forma equivalente:
Qx = (Q-A)x+b
(62)
La ecuación (62) sugiere un proceso iterativo que seconcreta al escribir:
(63)
El vector inicial x(0) puede ser arbitrario, aunque si se dispone de un buen candidato como solución éste es el que se debe emplear. La aproximación inicial que seadopta, a no ser que se disponga de una mejor, es la idénticamente nula . A partir de la ecuación (63) se puede calcular una sucesión de vectores x(1), x(2), .... Nuestro objetivo es escoger una matrizQ de manera que:
se pueda calcular fácilmente la sucesión [x(k)].
la sucesión [x(k)] converja rápidamente a la solución.
Como en todo método iterativo, deberemos especificar un criterio deconvergencia y un número máximo de iteraciones M, para asegurar que el proceso se detiene si no se alcanza la convergencia. En este caso, puesto que x es un vector, emplearemos dos criterios deconvergencia que se deberán satisfacer simultáneamente:
1. El módulo del vector diferencia, , partido por el módulo del vector x, deberá ser menor que la convergencia deseada:
2. La...
III.7 NECESIDAD
El método de Gauss y sus variantes se conocen con el nombre de métodos directos: se ejecutan a través de un número finito de pasos y dan lugar a unasolución que sería exacta si no fuese por los errores de redondeo.
Por contra, un método indirecto da lugar a una sucesión de vectores que idealmente converge a la solución. El cálculo se detienecuando se cuenta con una solución aproximada con cierto grado de precisión especificado de antemano o después de cierto número de iteraciones. Los métodos indirectos son casi siempre iterativos: paraobtener la sucesión mencionada se utiliza repetidamente un proceso sencillo.
CONCEPTOS BÁSICOS
En general, en todos los procesos iterativos para resolver el sistema Ax=b se recurre a una ciertamatriz Q, llamada matriz descomposición, escogida de tal forma que el problema original adopte la forma equivalente:
Qx = (Q-A)x+b
(62)
La ecuación (62) sugiere un proceso iterativo que seconcreta al escribir:
(63)
El vector inicial x(0) puede ser arbitrario, aunque si se dispone de un buen candidato como solución éste es el que se debe emplear. La aproximación inicial que seadopta, a no ser que se disponga de una mejor, es la idénticamente nula . A partir de la ecuación (63) se puede calcular una sucesión de vectores x(1), x(2), .... Nuestro objetivo es escoger una matrizQ de manera que:
se pueda calcular fácilmente la sucesión [x(k)].
la sucesión [x(k)] converja rápidamente a la solución.
Como en todo método iterativo, deberemos especificar un criterio deconvergencia y un número máximo de iteraciones M, para asegurar que el proceso se detiene si no se alcanza la convergencia. En este caso, puesto que x es un vector, emplearemos dos criterios deconvergencia que se deberán satisfacer simultáneamente:
1. El módulo del vector diferencia, , partido por el módulo del vector x, deberá ser menor que la convergencia deseada:
2. La...
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