Métodos numércios

Método de Bisección o de Bolzano

Teorema de Bolzano: Sea f(x) continua en cada punto del intervalo cerrado [a, b] y suponga que f(a) y f(b) tienen signos opuestos ( f(a) * f(b) ) < 0. Existe entonces, al menos, un c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

El método de bisección dice que si se tiene una función y = f(x), de variable real y continua en el intervalo (a, b), y el signo de la función en elextremo del intervalo a es diferente al signo del extremo b, existe al menos un valor c dentro de dicho intervalo tal que f(c)=0 o |f(c)| ≤ ε, por lo tanto, c es la raíz buscada.



Suponga una función f(x) = 0. Si se desea hallar la raíz de la función en el intervalo (a, b), se divide el intervalo en la mitad. Por medio de la fórmula:



Al obtener la c, puede ocurrir uno de estostres casos:
• Si f(c)=0 entonces c es la raíz buscada
• Si f(a) y f(c) tienen signos contrarios, la raíz buscada está en el intervalo (a, c)
• Si no se cumple la condición anterior, f(b) y f(c) tendrían signos contrarios y la raíz estaría en el intervalo (c, b).

El nuevo intervalo reducido se divide por la mitad y se procede de igual forma. Finalmente, en una cierta etapa del proceso setendrá bien la raíz exacta de la función
f(x) o una secuencia de intervalos cada vez más reducidos.

Este método sirve para encontrar las raíces en una ecuación. Su desventaja es que funciona solo para un número impar de soluciones en el intervalo.
Algoritmo

Leer f(x), los extremos del intervalo (a y b) y Épsilon (ε).

Determinar m = f(a) x f(b)

Si m = 0 entonces Si f(a) = 0  “Lasolución es a”

else  “La solución es b”

else

Si m > 0  “No hay solución” STOP

else  “Si hay solución por favor espere”

Calcular c = (a+b)/2

Si f(c) = 0  “La solución es c” STOP

Si |f(c)| ≤ ε  “La solución es c” STOP

else

Calcular m = f(a) x f(c)

Si m > 0  a = c (ir a5)

else

Si m < 0  b = c (ir a 5)



Método de la Falsa Regla

El método de la Falsa Regla es un método iterativo de para encontrar la solución numérica de ecuaciones no lineales. Este combina el método de bisección y el método de la secante.

Si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto donde la recta cruza al eje de las x, nosaproximaremos mucho más rápido a la raíz, ésta es la idea central del método de la falsa regla y ésta es la única diferencia que tiene con el método de bisección.



El método comienza, como bisección, con un intervalo [a, b] en el que la función f(x) cambia de signo. Luego se define el punto c donde la recta que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) corta al eje x. El nuevo intervalo será [a,c] o [c, b], donde se produzca el cambio de signo, para garantizar que la raíz queda en el nuevo intervalo. Este procedimiento se realiza hasta conseguir la precisión deseada.

La forma en que se calcula la c, en este método es de la siguiente manera:

La ventaja que este método tiene es que es más rápido que el método de bisección, pero por otro lado, el algoritmo tiene el inconveniente de quesi la función es convexa o cóncava cerca de la solución, el extremo del intervalo más alejado de la solución queda fijo variando únicamente el más cercano, convergiendo muy lentamente.
Algoritmo

Leer f(x), los extremos del intervalo (a y b) y Épsilon (ε).

Determinar m = f(a) x f(b)

Si m = 0 entonces Si f(a) = 0  “La solución es a”

else  “La solución es b”

elseSi m > 0  “No hay solución” STOP

else  “Si hay solución por favor espere”

Calcular c=a- (f(a))/((f(b)- f(a))/(b-a))

Si f(c) = 0  “La solución es c” STOP

Si |f(c)| ≤ ε  “La solución es c” STOP

else

Calcular m = f(a) x f(c)

Si m > 0  a = c (ir a 5)

else

Si m < 0  b = c...