Métodos numéricos para integrar

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Métodos numéricos para la integración
Juana Valeria Hurtado Rincón. 810033
Asignatura: Métodos numéricos
Docente: Hector Granada

Resumen—En este informe se presenta el desarrollo de los
métodos numéricos integración de Riemman, por lagrange, R
simpson, Trapecio y Newton Cotes para integrar una función.

II.
II-A.

M ARCO TEÓRICO

Integración de Riemann

O integración porrectángulos Con la definición de integral
definida y sumas de Riemman, se obtiene que:
I.

I NTRODUCCIÓN

Se entiende por métodos de integración cualquiera de las
diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral de una función.
Así, dada una función f(x), los métodos de integración son
técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar
una función F(x)tal que:
F (x) =

b

f (x)dx =
a

l´
ım

||p||−>0

f (xi

i)

Si se toman particiones equiespaciadas del intervalo [a,b]
y cauculando el área de los rectángulos que se generan, se
obtiene una aproximación de la integral.
Estos rectángulos pueden ser de dos formas, internos o externos.

f (x)

Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema
Fundamental del Cálculo,es preciso obtener previamente una
integral indefinida. Aunque se conocen diversos métodos para
hallar la integral indefinida de una cantidad considerable de
funciones, existen funciones para las cuales estos métodos no
son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de la
integración numérica. La integración numérica permite evaluar
la integral definida de una función continua en unintervalo
cerrado con la exactitud deseada.
En análisis numérico, la integración numérica constituye
una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico
de una integral definida y, por extensión, el término se usa
a veces para describir algoritmos numéricos para resolver
ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica es
más o menos sinónimo de integración numérica,especialmente
si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para
el caso de dos o más dimensiones también se utiliza.
El problema básico considerado por la integración numérica
es calcular una solución aproximada a la integral definida:

Figura 1. Rectángulos internos y externos .

II-B.

Integración por lagrange

b

F ( x) =

f (x)dx
a

Este problema también puede serenunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria,
como sigue: y (x) = f (x), Y (a) = 0 Encontrar y (b) es
equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados
para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de
Runge-Kutta, pueden ser aplicados al problema reformulado.
En este informe se discuten métodos desarrollados específicamente para elproblema formulado como una integral definida.

Teniendo como resultado de interpolación de unos puntos
dados el polinopmio Px , entonces:
n

b

f (x)dx =
a

αi f (xi )dx
i=0

Donde:
b

αi =

Li (x)dx
a

2

II-C.

Método del trapecio compuesta

Se dice que:
x2

f (x)dx =
x0

h3
h
[fx0 + f (x1 )] − f (2) (ξx )
2
12

Al ser una regla compuesta, se busca acotar eltamaño de
paso h, a partir del error, para que el resultado de la integral
sea lo mas exacto posible.
II-D.

Método R Simpson

Tomando un tamaño de paso:
h=

b−a
2

Se dice que:
x2

f (x)dx =
x0

II-E.

h
h5
[fx0 + 4f (x1 ) + f (x2 )] − f (4) (ξx )
3
90

Método R Simpson compuesta

En este método se acomoda el tamaño de paso h adecuado
en el método Rsimpson normalpara que la integral sea lo más
exacta posible
II-F.

Fórmulas de Newton Cotes

Las fórmulas de Newton Cotes se obtienen integrando
el polinomio interpolador construido con nodos igualmente
espaciados.
Tomando 5 puntos:
x1 , x1 , x2 , x3 , x4
obtenemos la regla de Boole
x4

f (x)dx =
x0

3h
[7f (c0 ) + 32f (x1 ) + 12f (x2 ) + 32f (x3 )...
8
+7f (x)4 ] −
III.

III-A.

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