Métodos Numéricos

MÉTODOS NUMÉRICOS
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN
2. ERRORES
3.1 DEFINICIONES
3.2 DÍGITOS SIGNIFICATIVOS
3. ARITMÉTICA DE COMPUTADORES
4.3 ARITMÉTICA DE PUNTO FIJO
4.4 ARITMÉTICA DE PUNTO FLOTANTE
4. CÁLCULO DE RAÍCES DE ECUACIONES
5. PUNTOS FIJOS E ITERACIÓN FUNCIONAL

1. INTRODUCCIÓN
La ciencia y la tecnología describen los fenómenos reales mediantemodelos matemáticos. El estudio de estos modelos permite un conocimiento más profundo del fenómeno, así como de su evolución futura. La matemática aplicada es la rama de las matemáticas que se dedica a buscar y aplicar las herramientas más adecuadas a los problemas basados en estos modelos. Desafortunadamente, no siempre es posible aplicar métodos analíticos clásicos por diferentes razones:
*No se adecúan al modelo concreto.
* Su aplicación resulta excesivamente compleja.
* La solución formal es tan complicada que hace imposible cualquier interpretación posterior.
* Simplemente no existen métodos analíticos capaces de proporcionar soluciones al problema.
En estos casos son útiles las técnicas numéricas, que mediante una labor de cálculo más o menos intensa, conducen asoluciones aproximadas que son siempre numérica. El importante esfuerzo de cálculo que implica la mayoría de estos métodos hace que su uso esté íntimamente ligado al empleo de computadores. De hecho, sin el desarrollo que se ha producido en el campo de la informática resultaría difícilmente imaginable el nivel actual de utilización de las técnicas numéricas en ámbitos cada día más diversos.
2.ERRORES
El concepto de error es consustancial con el cálculo numérico. En todos los problemas es fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder estimar el grado de aproximación de la solución que se obtiene.
Los errores asociados a todo cálculo numérico tienen su origen en dos grandes factores:
* Aquellos que son inherentes a la formulación del problema.
*Los que son consecuencia del método empleado para encontrar la solución del problema.
Dentro del grupo de los primeros, se incluyen aquellos en los que la definición matemática del problema es sólo una aproximación a la situación física real. Estos errores son normalmente despreciables; por ejemplo, el que se comete al obviar los efectos relativistas en la solución de un problema de mecánicaclásica. En aquellos casos en que estos errores no son realmente despreciables, nuestra solución será poco precisa independientemente de la precisión empleada para encontrar las soluciones numéricas.
Otra fuente de este tipo de errores tiene su origen en la imprecisión de los datos físicos: constantes físicas y datos empíricos. En el caso de errores en la medida de los datos empíricos y teniendo encuenta su carácter generalmente aleatorio, su tratamiento analítico es especialmente complejo pero imprescindible para contrastar el resultado obtenido computacional-mente.
En lo que se refiere al segundo tipo de error (error computacional), tres son sus fuentes principales:
1.
Equivocaciones en la realización de las operaciones (errores de bulto). Esta fuente de error es bien conocida porcualquiera que haya realizado cálculos manualmente o empleando una calculadora. El empleo de computadores ha reducido enormemente la probabilidad de que este tipo de errores se produzcan. Sin embargo, no es despreciable la probabilidad de que el programador cometa uno de estos errores (calculando correctamente el resultado erróneo). Más aún, la presencia de bugs no detectados en el compilador o en elsoftware del sistema no es inusual. Cuando no resulta posible verificar que la solución calculada es razonablemente correcta, la probabilidad de que se haya cometido un error de bulto no puede ser ignorada. Sin embargo, no es esta la fuente de error que más nos va a preocupar.
2.
El error causado por resolver el problema no como se ha formulado, sino mediante algún tipo de aproximación....