Métodos Numericos

OCW-V.Muto

Puntos fijos para funciones de varias variables.

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Cap. XXI

CAPITULO XXI. PUNTOS FIJOS PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1. PRELIMINARES La forma general de un sistema de ecuaciones no lineales es: f1 (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0 , f2 (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0 , ... ... ... fn (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0 , donde cada funci´n fi puede tomarse como una aplicaci´n de unvector x del espacio o o n t n−dimensional R , x = (x1 , x2 , . . ., xn ) , en la recta real R. Alternativamente, el sistema puede representarse definiendo una funci´n F, de Rn en Rn por o F(x1 , x2 , . . . , xn ) = (f1 (x1 , . . . , xn ), f2 (x1 , . . . , xn ), . . . , fn (x1 , . . . , xn ))t = 0 . Usando notaci´n vectorial para representar las variables xi , el sistema (XXI.1) asume la o forma: F(x)= 0 . (XXI.2) Las funciones f1 , f2 , . . . , fn se llaman funciones coordenadas de F. Antes de discutir la soluci´n de un sistema dado en las formas (XXI.1) ´ (XXI.2), o o necesitamos considerar algunos resultados concernientes a la continuidad y a la diferenciabilidad de funciones de Rn en Rn . Definici´n. Sea f una funci´n definida en un conjunto D ⊂ Rn y con valores en R. o o Se dice que lafunci´n f tiene l´ o ımite L en x0 , denotado por lim f (x) = L, si, dado
x→x0

(XXI.1)

cualquier ε > 0, existe un n´mero δ > 0 con la propiedad de que |f (x) − L| < ε siempre u que x ∈ D y 0 < ||x − x0 || < δ. Debe hacerse notar que la existencia de un l´ ımite es independiente de la norma vectorial particular usada debido a la equivalencia de las normas vectoriales en Rn . Definici´n. Sea funa funci´n del conjunto D ⊂ Rn en R. Se dice que la funci´n f es o o o continua en x0 ∈ D siempre y cuando el lim f (x) exista y lim f (x) = f (x0 ). Se dice, adem´s que f es continua en un conjunto D si f es continua en cada punto de D. Este a concepto se expresa escribiendo f ∈ C(D). Definici´n. Sea F una funci´n del conjunto D ⊂ Rn en Rn y supongamos que F tiene la o o representaci´n F(x) =(f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x))t , donde fi para cada i es una aplicaci´n o o n t de R en R. Definimos lim F(x) = L = (L1 , L2 , . . . , Ln ) si y s´lo si lim fi (x) = Li o para cada i = 1, 2, . . . , n.
x→x0 x→x0 x→x0 x→x0

Definici´n. Sea F una funci´n del conjunto D ⊂ Rn en Rn con la representaci´n o o o t F(x) = (f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)) . Se dice que la funci´n F es continua en x0 ∈D si o 283

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x→x0

Puntos fijos para funciones de varias variables.
x→x0

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lim F(x) existe y lim F(x) = F(x0 ). Se dice que F es continua en el conjunto D si F

es continua en cada x de D. Este concepto se expresa escribiendo F ∈ C(D). Enunciaremos un Teorema que relaciona la continuidad de una funci´n de n variables o en un punto con las derivadas parcialesde la funci´n en ese punto. o

Teorema XXI.1 Sea f una funci´n del conjunto D ⊂ Rn en Rn y x0 ∈ D. Si existen constantes δ > 0 o y K > 0 con ∂f (x) ≤K para cada j = 1, 2, . . . , n , ∂xj siempre que 0 < ||x − x0 || < δ y x ∈ D, entonces f es continua en x0 . 2. METODO DE ITERACION Y EJEMPLOS En el cap´ ıtulo XVI, se desarroll´ un proceso iterativo para resolver la ecuaci´n f (x) = o o 0transformando primero esta ecuaci´n en una ecuaci´n de la forma x = g(x). La funci´n o o o g tiene sus puntos fijos precisamente en las soluciones de la ecuaci´n original. Aqu´ se o ı n n investigar´ un procedimiento similar para funciones de R en R . a Sea dado un sistema de ecuaciones no lineales de un tipo especial: x1 = g1 (x1 , x2 , . . . , xn ) , x2 = g2 (x1 , x2 , . . . , xn ) , ... ... ... ... xn =gn (x1 , x2 , . . . , xn ) , donde las funciones g1 , g2 , . . . , gn son reales, definidas y continuas en un conjunto D, a vecindad de una soluci´n separada (x∗ , x∗ , . . . , x∗ ) del sistema (XXI.3). De forma m´s o n 2 1 compacta el sistema (XXI.3) se puede escribir como: x = G(x) . (XXI.4) (XXI.3)

Definici´n. Se dice que una funci´n G : D ⊂ Rn → Rn tiene un punto fijo en p ∈ D o o si...