Métodos Numericos

UNIDAD IV
INTERPOLACION

Una función de interpolación es aquella que pasa a través de puntos dados como datos, los cuales se muestran comúnmente por medio de una tabla de valores o se toman directamente de una función dada, la interpolación de los datos pueden hacerse mediante un polinomio.

Una función racional o la serie de Fourier, entre otras posibles formas. La interpolación polinomial(ajustar un polinomio a los puntos dados) es uno de los temas más importantes en métodos numéricos, se basan en la interpolación polinomial y los modelos de diferenciación numérica se obtienen derivando las funciones polinomiales.

Los datos obtenidos mediante una medición pueden interpolarse, pero en la mayoría de los casos no es recomendable una interpolación directa, debido a los erroresaleatorios, implicados en la medición.

Por ejemplo, las tablas1 y 2 presentan la temperatura de ebullición de la acetona (C3H6O) a diferentes presiones.

|PUNTOS |0 |1 |2 |3 |4 |5 |6 |
|T (0C) |56.5 |78.6 |113.0 |144.5 |181.0 |205.0 |214.5|
|P (atm) |1 |2 |5 |10 |20 |30 |40 |



|PUNTOS |0 |1 |2 |3 |
|T (0C) |56.5 |113.0 |181.0 |214.5 |
|P (atm) |1 |5 |20 |40 |

Supóngase que sedispusiera de la 2ª tabla y se desea calcular la temperatura de ebullición de la acetona a 2 atm. de presión.

Una forma muy común de resolver este problema es sustituir los puntos s(o), (1) en la ecuación de la línea recta:

Y= ax + b; p(x) = a0+ 1 a 1

De tal modo que resulta dos ecuaciones con dos incógnitas que son a0 y a1, con la solución del sistema se consigue una aproximaciónpolinomial de 1er grado lo que permite efectuar interpolaciones lineales, es decir, se sustituye el punto cero en la ecuación de la línea recta y se obtiene.

56.5 =a0 + 1 a1

Y al sustituir el punto 1 nos queda:

113 = a0 + 5 a1

Sistema que al resolver nos da:

a0 = 42.375 y a1 = 14.125

Por lo tanto estos valores generan la ecuación

P(x) = 42.375 + 14.125X

La ecuación resultantepuede emplearse para aproximar la temperatura, cuando la presión es conocida. Al sustituir la presión x = 2 atm., se obtiene una temperatura de 70.6 0C. A este proceso se le conoce como interpolación.

Ejemplo:

|PUNTOS |0 |1 |2 |3 |
|T (0C) |56.5 |113.0 |181.0 |214.5 |
|P (atm) |1|5 |20 |40 |

Utilizando la ecuación de la línea recta

Y= ax +b

P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + …+ an xn

Puntos (0, 1)

a0 10 + a1 11 = 56.5
a0 50 + a1 51 = 113.0

1 1 56.5
1 5 113.0

Resolver por Gauss 1ª forma

M = 1/1 = 1

a 21 = 1 - 1(1) = 0
a 22 = 5 - 1(1) = 4
b2 = 113 - 1(56.5) = 56.5

|1 1 | 56.5 |
| 0 4 | 56.5 |

a1 = x2 = 56.5 / 4 = 14.125
a0 = x1 = 56.5 - 1(14.125) = 42.375
1
a0 = 42.375
a1 = 14.125

la presión, x = 2 atm.

P(x) = a0 + a1 x = 42.375 + 14.125(2) = 70.6250 = 70.60C
P(x) = 70.60 C




4.1 INTERPOLACION LINEAL

INTERPOLACIÓN LINEAL (regresión de los semipromedios)
1. Se divide laserie de los puntos en dos partes iguales (igual número de puntos en cada lado).
2. Se calcula la media aritmética de las coordenadas en el eje y, y se coloca el promedio en el centro de las coordenadas del eje x.
3.
Ejemplo: dado 2 puntos; (x1,y1)(x2,y2), calcular la pendiente


b = y2 – y1 (la pendiente dado 2 puntos)
x2 – x1


Se...