Métodos Tesis

FACULTAD DE CIENCIAS

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE
MATEMÁTICA APLICADA

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON VALOR INICIAL

AUTOR :
POZO MARTÍNEZ, ROBERTO

ASESOR :
LIC. CIPRIANO

HUACHO, OCTUBRE 2012

FACULTAD DE CIENCIAS

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE
MATEMÁTICA APLICADA

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIAS CON VALOR INICIAL

AUTOR :
POZO MARTÍNEZ, ROBERTO

ASESOR :
LIC. CIPRIANO

HUACHO, OCTUBRE 2012





CAPÍTULO 1

Método de Euler
No todos los problemas de valor inicial pueden resolverse explícitamente; con frecuencia es imposible hallar una fórmula que represente la solución y(t). Por ejemplo, no existe una “expresión cerrada” para la solución del problema devalor inicial y'=t3+y2 con y0=0. En consecuencia, es necesario disponer de métodos que aproximen la solución de problemas que aparecen en la ciencia y la ingeniería. Si, además se requiere que la aproximación a la solución tenga muchas cifras decimales de precisión, entonces necesitaremos usar métodos sofisticados y el esfuerzo computacional será grande.
El primer método que veremos es el métodode Euler y nos servirá para ilustrar una serie de conceptos que juegan un papel importante en métodos mas avanzados. El método de Euler no se suele utilizar en la práctica debido a que la solución que proporciona acumula errores apreciables a lo largo del proceso; sin embargo, es importante estudiarlo porque es más fácil llevar a cabo el análisis del error de este método que el de otros más exactospero más complejos.
Sea a,b el intervalo en el que queremos hallar la solución de un problema de valor inicial y'=ft,y con ya=y0 que esta bien planteado (en el sentido de que f satisface una condición de Lipschitz). Hay que advertir que, de hecho, no vamos a encontrar una función derivable que sea solución del problema de valor inicial; en vez de eso, lo que se construye es un conjunto finitode puntos tk,yk que son aproximaciones de la solución (o sea, y(tk)≈yk). ¿Cómo podemos construir un “conjunto finito de puntos” que “verifiquen aproximadamente una ecuación diferencial”? en primer lugar, elegimos las abscisas de los puntos. Por comodidad, dividimos al intervalo a,b en M subintervalos del mismo tamaño usando la partición dad por los siguientes puntos:
tk=a+kh para k=0, 1,…, M, siendo h=b-aM .
El valor del incremento h se llama tamaño de paso. Procedemos ahora a resolver aproximadamente
y'=ft,y en t0,tM con yt0=y0. (1)
Suponiendo que yt, y't e y''(t) son continuas y usando el teorema de Taylor para desarrollar yt alrededor de t=t0, para cada punto t existe un punto c1 entre t0 y t tal que
yt=yt0+y't0t-t0+y''(c1)(t-t0)22.
Al sustituir y't0=f(t0,yt0) y h=t1-t0, el resultado es una expresión para el valor yt1 :
yt1=yt0+hft0,yt0+y''(c1)h22 .
Si el tamaño de paso h es suficientemente pequeño, entonces podemos despreciar el termino que contiene h2 y obtener
yt1≈y1=y0+hft0,y0
que se llama aproximación de Euler.
Repitiendo l proceso generamos una sucesión de puntos que se aproximan a la grafica de lasolución y=yt. El paso general del método de Euler es
tk+1=tk+h, yk+1=yk+hftk,yk para k=0, 1, …, M-1. (2)

Tamaño de paso frente a error
Los métodos de aproximación a la solución de un problema de valor inicial que se van a presentar se llaman métodos de diferencia o métodos de variable discreta. Este tipo de métodos, la solución se aproxima en un conjunto finito depuntos que llamaremos nodos. Un método elemental de la forma yk+1=yk+hΦ(tk,yk), para cierta función Φ llamada función incremental, se dice que es de paso simple, o de un solo paso, porque en el cálculo del nuevo punto solo interviene de manera explicita el punto inmediatamente anterior.
Cuando usamos un método de variable discreta para resolver de manera aproximada un problema de valor...