Mínimos Cuadrados

1. Tengo un conjunto de puntos xk,yk siendo k=1, 2, …, n. Es decir, n pares xk,ykk=1n
Ej.:
x1,y1=(1;1,50361);
x2,y2=(2;1,50400);
x3,y3=(3;1,50311);
x4,y4=(4;1,50168);
x5,y5=(5;1,50175);x6,y6=(6;1,50281);
x7,y7=(7;1,50336);
x8,y8=(8;1,50212);
x9,y9=(9;1,50017);
x10,y10=(10;1,49956);
x11,y11=(11;1,50072);
n=11

2. Deseo encontrar una función f(x), combinación lineal de mfunciones cualesquiera linealmente independientes fj(x)j=1m, que se llamarán funciones base; y, por tanto, tomará la siguiente forma:
fx=c1f1x+c2f2x+ …+cmfmx=j=1mcjfj(x)
De modo que debo hallar los mcoeficientes cj=1m que mejor aproximen la tal función f(x) a los n pares xk,ykk=1n. Para hacer esto se empleará el criterio de mínimo error cuadrático medio de la función respecto a los puntos.
3. Elerror en un punto se podría definir como:
ek=yk-f(xk)
Continuando con el ejemplo anterior, el error se podría representar gráficamente de la siguiente forma:

Como en este caso se trata de medir yminimizar el error en el conjunto de la aproximación, se expresaría mediante el Error Cuadrático Medio, definido como:
Ecmf=k=1n(ek)2n
Para el caso de la función
fx=c1f1x+c2f2x+ …+cmfmx=j=1mcjfj(x)El error cuadrático medio quedaría de la siguiente forma:
Ecm=1nk=1n(yk-j=1mcjfj(xk))2
La aproximación mínimo cuadrada se basa en la minimización del error cuadrático medio, o, equivalentemente,en la minimización del radicando de dicho error, el llamado error cuadrático, definido como:
Ecf=k=1n(ek)2n
Para el caso de la función
fx=c1f1x+c2f2x+ …+cmfmx=j=1mcjfj(x)
El error cuadrático sequedaría en:
Ec=k=1n(yk-j=1mcjfj(xk))2
que sería equivalente a la suma de los residuos elevados al cuadrado (S).
4. El mínimo de la suma de los cuadrados se consigue estableciendo el gradiente acero. Como el modelo tiene m parámetros, hay m ecuaciones de gradientes:
∇Ec=∂Ec∂c1, …,∂Ec∂cm=∂Ec∂ci=k=1n2yk-j=1mcjfjxk-fixk=0
Siendo i=1, 2, …,m.
continuamos:
k=1nj=1mcjfjxkfixk-k=1nykfixk=0...