M2d

Copyright c 2013, 2014, 2015 J. Miguel Farto.
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Matemáticas II
J. Miguel Farto Álvarez

Curso 2014-2015

iv

ÍNDICE GENERAL
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37

4 Cálculo diferencial
4.1 Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Interpretación geométrica . . . . . . . .
4.2 La matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . ..
4.2.1 Cálculo de la matriz jacobiana . . . . . .
4.3 Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Diferenciabilidad y derivabilidad en un abierto .
4.4.1 Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Cálculo de derivadas . . . . . . . . . . .
4.5 Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Extremos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Teoría de Taylor . . . . .. . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Diferenciales de orden superior . . . . . .
4.7.2 El polinomio de Taylor . . . . . . . . . .
4.7.2.1 Cálculo del polinomio de Taylor
4.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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91
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95

3.2

Índice general
License

v

I

1

Cálculo en varias variables y Geometría diferencial

1 Topología de Rn
1.1Representación gráfica
1.2 Norma . . . . . . . . .
1.3 Acotación . . . . . . .
1.4 Topología . . . . . . .
1.5 Ejercicios . . . . . . .

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2 Funciones
2.1 Noción de función . . . . . . . . . . .
2.2 Representación gráfica . . . . . . . .
2.2.1 Representación del grafo . . .
2.2.2 Representación del soporte . .
2.2.3 Relaciónentre grafo y soporte
2.3 Aritmética de funciones . . . . . . .
2.4 Proyecciones y componentes . . . . .
2.5 Extremos de funciones escalares . . .
2.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .
3 Continuidad y Límites
3.1 Continuidad . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Noción de continuidad . . . .
3.1.2 Casos particulares . . . . . . .
3.1.2.1 Funciones vectoriales
3.1.2.2 Funciones constantes
3.1.2.3Proyecciones . . . .
3.1.3 Aritmética . . . . . . . . . . .
iii

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3.3

3.1.4 Propiedades . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Discontinuidades . . . . . . . . .
Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Noción de límite . . . . . . . . .
3.2.2 Cálculo de límites . . . . . . . . .
3.2.2.1 Aritmética . . . . . . .
3.2.2.2 Coordenadas polares . .
3.2.2.3 Límites sobre conjuntos
3.2.2.4...