MA08 Combinatoria

C u r s o : Matemática
Material Nº 08
GUÍA TEÓRICA PRÁCTICA Nº 08
UNIDAD: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES
COMBINATORIA

TÉCNICAS DE CONTEO
Principio Multiplicativo: Si un determinado suceso A puede ocurrir de a maneras diferentes y
otro suceso B, puede ocurrir de b maneras diferentes, entonces el suceso compuesto “A y B”
puede ocurrir de (a ∙ b) maneras diferentes. Este principio se puede aplicartambién a más de
dos sucesos.
Principio Aditivo: Si un determinado suceso A puede ocurrir de a maneras diferentes y otro
suceso B, puede ocurrir de b maneras diferentes, entonces el suceso compuesto “A o B” puede
ocurrir de (a + b) maneras diferentes. Este principio se puede aplicar también a más de dos
sucesos.

EJEMPLOS
1.

Si Pedro dispone de 5 lápices de pasta, 4 de tinta y 3 de grafito,entonces ¿de cuántas
maneras diferentes puede elegir un lápiz para hacer una tarea?
A)
B)
C)
D)
E)

2.

12
17
23
27
60

Al lanzar un dado y una moneda, ¿cuántos resultados distintos se pueden obtener?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 12
E) 36

3.

En un local de comida rápida, Patricio puede escoger un combo que contiene una de
5 hamburguesas distintas y una bebida entre 4 sabores distintos ó bien un jugo entre 2sabores distintos y todo esto acompañado de papas fritas. ¿Cuántos combos distintos
puede armar Patricio?
A)
B)
C)
D)
E)

11
13
18
30
40

1

FACTORIALES
Definición: Sea n un número natural, se llama factorial de n o n factorial, al producto de
los n primeros números naturales y se denota por n!.
Se define:



1! = 1
n! = n ∙ (n – 1)!

Se deduce de lo anterior, que
n! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3· 2 · 1
OBSERVACIÓN:

0! = 1

EJEMPLOS

1.

¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) igual(es) a 4!?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)

2.

Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo II y III
Ninguna de ellas

Sea p el sucesor de q. Entonces, p! es
A)
B)
C)
D)
E)

3.

2! ∙ 2!
1! + 1! + 1! + 1!
12 ∙ 2

(q – 1)!
(pq + p)!
(q + 1) ∙ q!
(p + q + 1)!
(p + q – 1)!

¿Cuál de los siguientes números no es divisor de6!?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 14
E) 18

2

PERMUTACIONES

Definición: Se denomina permutación, a cada una de las diferentes ordenaciones que se
pueden realizar con todos los elementos de un conjunto.
Permutación Simple o Lineal: Son las permutaciones que pueden hacerse con los
elementos de un conjunto, sin repetirlos.
P(n) = n!
Permutaciones con repetición: El número de permutaciones de n elementos, delos
cuales, k1 son iguales, k2 son iguales,…. kr son iguales, está dada por
Prep =

n!
k1! · k2! · ... k r!

Permutaciones circulares: El número de maneras diferentes en que se pueden ordenar n
elementos diferentes a lo largo de una circunferencia está dado por:
Pcircul = (n – 1)!

EJEMPLO

1.

¿De cuántas maneras se pueden ubicar 5 autos en fila en un estacionamiento?
A)
5
B) 10
C) 25
D) 120
E) 1252.

¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden hacer con todas las letras de la palabra
ELEMENTO?
A) 3!
B) 5!
C) 8!
8!
D)
5!
8!
E)
3!

3.

¿De cuántas maneras distintas se puede sentar una familia de 7 integrantes alrededor
de una mesa circular?
A)
B)
C)
D)
E)

3! + 4!
3! ∙ 4!
6!
7!
7! – 1!
3

VARIACIONES O ARREGLOS
Definición: En un conjunto de n elementos, se denominan variaciones oarreglos a los
diferentes grupos o conjuntos que se pueden formar con sólo r elementos (r < n).
Variaciones sin repetición: Dado un conjunto de n elementos, la cantidad de conjuntos de
r elementos que se pueden obtener, sin repetir ninguno de ellos, está dada por (r < n):
Vnr =

n!
(n  r)!

Variaciones con repetición: Dado un conjunto de n elementos, la cantidad de conjuntos
de r elementos que se puedenobtener, en los cuales se puede repetir uno o más de ellos,
está dada por (r Vrn = nr

EJEMPLOS

1.

Si en una micro hay disponibles sólo 3 asientos y 7 personas están de pie, ¿de cuántas
maneras distintas podrían ocupar esos asientos?
A) 7! – 3!
B) (7 – 3)!
7!
C)
3!
7!
D)
4!
E) 73

2.

Si se lanza un dado 3 veces consecutivas y en cada ocasión se anota el resultado, la
cantidad de...

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