MA1003 Parcial 3-I-2012
Páginas: 3 (530 palabras)
Publicado: 6 de abril de 2013
Javier Durán Calvo
B12285
Solución Tercer Parcial
MA1003 – I Semestre 2012
1. Calcular ∫ (
⃗( )
((
)
)
(
(
)
)
(
)
, donde C es la curva dada por
), para
.(20 ptos)
Se tiene que ∫ ⃗
que va desde
⃗ es la integral de línea de un campo vectorial, donde ⃗ (
hasta
; por lo tanto, los puntos inicial y final son, respectivamente:
)
)
⃗( ) (
y
⃗() (
Aparte, se tiene que:
̂
̂
̂
()
(
)(
)
()(
⃗|
|(
|
|
Como
que
). C es una curva
)
(
)
)
(
) ⃗⃗
⃗ ⃗⃗; según el Teorema Fundamental de Integrales de Línea,existe una función f llamada potencial, tal
⃗ y que ∫ ⃗ ⃗
()
( ), donde B y A son los puntos final e inicial, respectivamente, en un campo
vectorial. Esto es:
(
⃗
)
(
)
∫
(
)∫
(
)
(
∫
{
)
Y por último:
∫⃗
()
⃗
()
(
)
(
)
)
(
Respuesta:
∫(
)
(
2. La siguiente figura representa la superficie dada por
) ⃗⃗use el Teorema de Stokes para calcular ∬ (
tercera componente positiva. (Sugerencia: Calcule
̂
⃗
̂
)
(
)(
), con
y
,
, donde ⃗⃗ es el vector normal unitario con
⃗ si ⃗ (
)
()).
̂
|
|
|
|
(
)
(
)
(20 ptos)
Javier Durán Calvo
B12285
Lo que concuerda con ∬ (
) ⃗⃗
. Entonces
∬(
El problema se reduce a calcular ∫ ⃗
(
Se tieneque
1
C3
) ⃗⃗
⃗
∫⃗
⃗ ⃗⃗
∬
⃗
( ⃗ ( )) ⃗ ( )
∫
)(
)
(
)
Por lo que hay que se puede calcular:
y la proyección en XY es:
(1,1)
∫⃗
C4
∫⃗
⃗
∫⃗
⃗∫⃗
⃗
∫⃗
⃗
⃗
C2
C1
(La integral depende únicamente del borde)
(Va en sentido antihorario porque ⃗⃗
)
(
)
)
1
(En todos los casos
C1: De (0,0) a (1,0):
⃗( )
(⃗
∫⃗
)
((
∫(
)(
⃗( )
)(
))
(
)
(
)
)
(
)
)(
∫(
(
)
)
C2: De (1,0) a (1,1):
⃗( )
∫⃗
(
)
∫(
⃗
((
)(
)
((
)(...
B12285
Solución Tercer Parcial
MA1003 – I Semestre 2012
1. Calcular ∫ (
⃗( )
((
)
)
(
(
)
)
(
)
, donde C es la curva dada por
), para
.(20 ptos)
Se tiene que ∫ ⃗
que va desde
⃗ es la integral de línea de un campo vectorial, donde ⃗ (
hasta
; por lo tanto, los puntos inicial y final son, respectivamente:
)
)
⃗( ) (
y
⃗() (
Aparte, se tiene que:
̂
̂
̂
()
(
)(
)
()(
⃗|
|(
|
|
Como
que
). C es una curva
)
(
)
)
(
) ⃗⃗
⃗ ⃗⃗; según el Teorema Fundamental de Integrales de Línea,existe una función f llamada potencial, tal
⃗ y que ∫ ⃗ ⃗
()
( ), donde B y A son los puntos final e inicial, respectivamente, en un campo
vectorial. Esto es:
(
⃗
)
(
)
∫
(
)∫
(
)
(
∫
{
)
Y por último:
∫⃗
()
⃗
()
(
)
(
)
)
(
Respuesta:
∫(
)
(
2. La siguiente figura representa la superficie dada por
) ⃗⃗use el Teorema de Stokes para calcular ∬ (
tercera componente positiva. (Sugerencia: Calcule
̂
⃗
̂
)
(
)(
), con
y
,
, donde ⃗⃗ es el vector normal unitario con
⃗ si ⃗ (
)
()).
̂
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(
)
(
)
(20 ptos)
Javier Durán Calvo
B12285
Lo que concuerda con ∬ (
) ⃗⃗
. Entonces
∬(
El problema se reduce a calcular ∫ ⃗
(
Se tieneque
1
C3
) ⃗⃗
⃗
∫⃗
⃗ ⃗⃗
∬
⃗
( ⃗ ( )) ⃗ ( )
∫
)(
)
(
)
Por lo que hay que se puede calcular:
y la proyección en XY es:
(1,1)
∫⃗
C4
∫⃗
⃗
∫⃗
⃗∫⃗
⃗
∫⃗
⃗
⃗
C2
C1
(La integral depende únicamente del borde)
(Va en sentido antihorario porque ⃗⃗
)
(
)
)
1
(En todos los casos
C1: De (0,0) a (1,0):
⃗( )
(⃗
∫⃗
)
((
∫(
)(
⃗( )
)(
))
(
)
(
)
)
(
)
)(
∫(
(
)
)
C2: De (1,0) a (1,1):
⃗( )
∫⃗
(
)
∫(
⃗
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)(
)
((
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