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Cálculo integral
Parcial 1 - Guías 1 − 6

Farith Briceño - 2013

Cálculo integral - Guía 1

Antiderivada
Objetivos a cubrir

Código : MAT-CI.1

• Definición de antiderivadas.
• Integral indefinida. Propiedades de la integral indefinida.

Ejercicios resueltos

1
, con −1 < x < 1.
1 − x2
Demostración : Es conocido que la función inversa de g (x) = sen x, es f (x) = arcsen x, definida en
−1 ≤ x ≤1, es decir, g −1 (x) = f (x), además si una función g tiene inversa y es diferenciable, entonces g −1 es
diferenciable y su derivada viene dada por
1
.
g −1 (x) =
−1
g (g (x))

Ejemplo 1 : Demuestre que si f (x) = arcsen x, entonces f (x) = √

Como g (x) = cos x, se tiene que
g −1 (x)

= (arcsen x) =

1
,
cos (arcsen x)

puesto que,
sen2 (·) + cos2 (·) = 1,

cos (·) = ±

entonces,

1 − sen2 (·),π π
por lo tanto, al componer la expresión del cos (·) con la función f (x) = arcsen x, como Rgo f = − ,
2 2
coseno es positivo en ese intervalo,

f (x) = arcsen x

y el

f (x) = cos x

por lo tanto, se toma la expresión positiva del coseno y se tiene,
cos (arcsen x) =

1 − sen2 (arcsen x) =

2

1 − (sen (arcsen x)) =

1 − x2 ,

luego,
(arcsen x) = √

1
,
1 − x2

definida para −1 < x < 1.
Ejemplo 2: Hallar una función f , tal que se cumpla la siguiente igualdad
f (x) dx = arcsen x + C.
Solución : Por la definición de primitiva se tiene que cumplir
(arcsen x + C) = f (x)

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

farith.math@gmail.com

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Antiderivada

3

así,
(arcsen x + C) = (arcsen x) + (C) = √
↑

↑
Derivada de una
suma de funciones

↑

Derivada:Ver ejemplo 1

1
1
+0= √
.
2
1−x
1 − x2

Derivada de
una constante

Luego,
f (x) = √

1
.
1 − x2

Ejemplo 3 : Hallar una función f , tal que se cumpla la siguiente igualdad
f (x) dx = arctan

√

x + C.

Solución : Por la definición de primitiva se tiene que cumplir
√
arctan x + C = f (x)
así,

√

arctan

x +C

= arctan

√

x

+ (C) =

↑

↑

Derivada de una
suma de funciones

Derivada: Regla
de lacadena

√
1
1
1
√ .
√ 2 ( x) + 0 =
1
+
x
2
x
1 + ( x)

↑
Derivada de
una constante

Luego,
1
.
f (x) = √
2 x (1 + x)

−2−5 dx.

Ejemplo 4 : Integre
Solución : Se tiene

n

x dx =

xn+1
+C
n+1

con

n=0

↓
−2−5 dx = −2−5

1 dx = −2−5

↑

x0+1
+ C = −2−5 x + C.
0+1

Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración

Luego,
−2−5 dx = −2−5 x + C.Ejemplo 5 : Integre

√

x dx.

Solución : Es conocido que

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√

x = x1/2 ,

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Antiderivada

entonces
√

1

x 2 +1
1
+1
2

x1/2 dx =

x dx =

↑
n

x dx =

xn+1
+C
n+1

con

n=

+C =

4

x3/2
3
2

+C =

2x3/2
+ C.
3

1
2

Luego,
√

2x3/2
+ C.
3

x dx =

2 csc2 x dx.

Ejemplo 6 : Integre
Solución : Setiene

(cot x) = − csc2 x

↓
2 csc2 x dx = 2
↑

csc2 x dx = −2 cot x + C.

Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración

Luego,
2 csc2 x dx = −2 cot x + C.

(πx + sec x tan x) dx.

Ejemplo 7 : Integre
Solución : Se tiene

Linealidad de la integral
(f (x) + g (x)) dx =

f (x) dx +

↓
(πx + sec x tan x) dx =

g (x) dx

πx dx +
↑

sec x tan x dx= π

x dx +

sec x tan x dx,

Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración

donde
x dx =

x1+1
1+1

+ C1 =

x2
+ C1
2

y

↑

sec x tan x dx = sec x + C2 ,
↑

n+1

n

x dx =

x
+C
n+1

con

(sec x) = sec x tan x

n=1

entonces
(πx + sec x tan x) dx = π

x2
+ C1
2

+ sec x + C2 =

πx2
πx2
+ C1 π + sec x + C2 =
+ sec x + (C1 π + C2 )
2
2
↑Constante C

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Antiderivada

5

Luego,
(πx + sec x tan x) dx =

1
x2

x2 + 1 +

Ejemplo 8 : Integre

πx2
+ sec x + C.
2

dx.

Solución : Se tiene
Linealidad de la integral
(f (x) + g (x)) dx =

x2 + 1 +

f (x) dx +

↓
dx =

1
x2

g (x) dx

x2 dx +

1
dx =
x2

1 dx +

x2 dx +

1 dx +

x−2 dx,...