MA19 Ngulos En La Circuferencia

C u r s o : Matemática
Material N° 19
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 19
UNIDAD: GEOMETRÍA
ÁNGULOS Y TEOREMAS EN LA CIRCUNFERENCIA
DEFINICIONES

CIRCUNFERENCIA:

RADIO:

CUERDA:

Dado un punto O y una distancia r,
se llama circunferencia de centro O y
radio r al conjunto de todos los puntos
del plano que están a la distancia r del
punto O.

O
1

Trazo cuyos extremos son el centro de
la circunferencia yun punto de ésta
( OA ).

D

Trazo cuyos extremos son dos puntos

B

cuerda

E
arco

diámetro

O

secante

P

de una circunferencia ( DE ).

0: Centro
r: Radio
C(O,r) = (O,r)

r

C
radio

T

A
Q

M

tangente

DIÁMETRO:

Cuerda que contiene al centro de la
circunferencia, mide 2 radios, es decir
d = 2r en la figura, ( BC ).

SECANTE:

Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQ)TANGENTE:

Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto (TM). T punto
de tangencia.

ARCO:

Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos
 ).
de ella, por ejemplo arco CE ( CE

ÁNGULO DEL CENTRO: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia

(EOD).
D

E

r

O

r

OBSERVACIÓN

El triángulo formado por dos radios y una cuerda tiene porlo menos dos lados iguales
EJEMPLOS

1.

En una circunferencia, ¿cuál de las siguientes opciones es siempre verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)

2.

Dos circunferencias son concéntricas si
A)
B)
C)
D)
E)

3.

Una cuerda y una secante forman un ángulo del centro.
El radio de una circunferencia mide el doble del diámetro.
La mayor secante es el diámetro.
Por tres puntos en el plano siempre pasa unacircunferencia.
Dos cuerdas son congruentes si los arcos que subtienden son congruentes.

Sus diámetros son congruentes.
La misma secante contiene a los centros de ambas circunferencias.
Tienen el mismo centro.
Sus radios son congruentes.
Comparten una tangente.

En la circunferencia de centro O de la figura 1, AC y BD son diámetros. Si AO = 2x + 4
y 2BO = 6x - 8, entonces AC =
D
A
A) 6
B)
8
C) 16
D) 28
E)40

4.

O
fig. 1
C

B

En la circunferencia de centro O de la figura 2, AB es diámetro. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)

=
=+
180 –  =  + 

C



Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III

A

2



 
O

fig. 2
B

MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO

D

En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual
a la medidadel ángulo del centro que subtiende dicho arco.
 = EOD = 
DE



O

E
O centro de la circunferencia

ÁNGULO INSCRITO

Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia
y parte de sus rayos son cuerdas de ésta (FHG).

H
G

TEOREMA
Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene como
medida la mitad del ángulo del centro que subtiende el
mismo arco.
C
D


O
O
O
1



=

2
A
BA
A
B

F
F





A

E

B

O


B

O: centro de la circunferencia
TEOREMA
Dos
cuerdas paralelas en
una
circunferencia,
determinan entre ellas arcos congruentes.

B
A
O

  DB

AB // CD  AC

D

C

EJEMPLOS

1.

En la circunferencia de centro O de la figura 1, ¿cuánto mide ?

A)
B)
C)
D)
E)

37,5º
42,5º
75º
80º
95º

5x

O

x + 40º

3

2x

fig. 1

2.

En la circunferencia de centro O de lafigura 2, el arco AB mide 110°, entonces la
diferencia entre los ángulos BOA y BPA es
A) 55º
B) 65º
C) 75º
D) 160º
E) 165º

3.

O

fig. 2

A

B

En la circunferencia de centro O de la figura 3, 3 –  = 60º, entonces la medida de  es
A)
B)
C)
D)
E)

4.

P

12º
30º
60º
75º
90º


O


fig. 3

En la circunferencia de centro O de la figura 4, POQ = 120°, entonces la medida de
 +  +  es


A) 60º
B)90º
C) 120º
D) 180º
E) 360º
5.


O

fig. 4


Q

P

En la circunferencia de centro O de la figura 5, el ABC mide 80º, luego la medida de 
es
C
A)
B)
C)
D)
E)

6.

10º
15°
20º
70º
80º

B


O
fig. 5
A

En la circunferencia de centro O de la figura 6, BC // AD y CAD = 40º, entonces
 + BC
 =
DA
B

C
A)
B)
C)
D)
E)

80º
160º
200º
280º
300º

D

4

40°

A

fig. 6

TEOREMA

Todos
los
ángulos...