MA38 Ecuación Vectorial De La Recta Y Volúmenes

C u r s o : Matemática
Material N° 38
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 38
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA Y VOLÚMENES

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

Dado un vector posición p = (p1, p2) y otro vector dirección d = (d1, d2) la ecuación de la recta
que contiene al punto p y tiene la dirección de d es:
r() = p + d
r() = (p1, p2) + (d1, d2)
r() = (p1 + d1, p2 +d2)Ecuación vectorial de la recta

en donde  representa un número real cualquiera, que varía entre ]-, +[.
Y
r() = (p1 + d1, p2 + d2)
p2
d2

d
d1

p
p1

X

OBSERVACIONES:

La ecuación vectorial de una recta en lR3, se trabaja de la misma forma, con tres
coordenadas para el vector posición y el vector dirección.
 El vector dirección se puede determinar a través de la diferencia de dos vectoresposición.


EJEMPLOS

1.

La ecuación vectorial de una recta que tiene posición (1, 4) y dirección (-2, 4) es:
A)
B)
C)
D)
E)

r()
r()
r()
r()
r()

=
=
=
=
=

(1 + 4, -2 + 4)
(1 + 2, 4 + 4)
(-2 + , 4 + 4)
(1 - 2, 4 + 4)
(-2 + 4, 1 + 4)

2.

¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones vectoriales representa(n) a la recta que pasa por
los puntos (4, 6) y (3, 8)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)

3.r(t)
r(t)
r(t)
r(t)
r(t)

=
=
=
=
=

(2+ 3t, 4 + t, 1 – 3t)
(5t, 5t, -2t)
(3 + 2t, 1 + 4t, -3 + t)
(3 + t, 1 + 3t, -1 – 2t)
(2 + 4t, 1 + 3t, -3 + t)

¿Cuál de las siguientes ecuaciones vectoriales contiene al punto (2, -1, 3)?
A)
B)
C)
D)
E)

5.

I
II
III
I y II
II y III

La ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (3, 1, -3) con vector dirección
(2, 4, 1), corresponde a
A)
B)
C)
D)
E)4.

Solo
Solo
Solo
Solo
Solo

r() = (4 + 3, 6 + 8)
m() = (4 + , 6 - 2)
v() = (3 - , 8 + 2)

m() = (5 - , -7 + 2, 12 - 3)
p(t) = (6 – t, 5 + 2t, 8 – 2t)
r() = (2 + , 2 + 2, 6 - )
v() = (8 - , 1 + 3, 3 - )
s() = (5 - , 3 + 2, 1 + )

¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones vectoriales representa a una recta que pasa por los
puntos (6, 2) y (-2, 3)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)m(t) = (6 – 2t, 2 +3t)
s() = (6 + 8, 2 - )
v(f) = (14 – 8f, 1 + f)

Solo I
Solo III
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas
2

ECUACIÓN PRINCIPAL DE UNA RECTA A PARTIR DE LA ECUACIÓN VECTORIAL

Sea r() = (p1 + d1, p2 + d2), con vector posición p = (p1, p2) y vector dirección d = (d1, d2),
entonces:
x = p1 + d1

y = p2 + d2

ecuaciones paramétricas

se despeja  de cada una de lasecuaciones paramétricas y se igualan:
x  p1
y  p2
;
=
d1
d2

De la ecuación continua
y = mx + n:



x  p1 y  p2
=
d1
d2

ecuación continua

se puede obtener la ecuación principal de la recta, de la forma
xd2 – p1d2 = yd1 – d1p2
xd2 + d1p2 – p1d2 = yd1
x

d2
d p  p1d2
+ 1 2
d1
d1

ecuación principal
Donde m =

d2
d1

OBSERVACIÓN:


Arreglando los términos de la ecuación principal, es posibleobtener la forma general de la
recta: ax + by + c = 0.

EJEMPLOS

1.

Las ecuaciones paramétricas de la recta de vector posición (5, 3) y vector dirección
(2, -1) son
A)
B)
C)
D)
E)

2.

x
x
x
x
x

=
=
=
=
=

5
5
5
3
5

+ 3t
–t
– 2t
–t
+ 2t

y
y
y
y
y

=
=
=
=
=

2
3
3
5
3

-t
+ 2t
+t
+ 2t
-t

Las ecuaciones paramétricas de una línea recta son x = 6 + 2; y = 3 - , entonces su
ecuación continua esA)
B)
C)
D)
E)

x  6
2
x  2
6
x  6
2
x  6
2
x+6
2

=
=

=
=
=

y+3
-1
y  3
-1
y  3
-1
y  3
1
y+3
1

3

3.

Si la ecuación continua de una recta corresponde a
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)

A)
B)
C)
D)
E)
4.

5.

Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III

y
y
y
y
y

=
=
=
=
=

de

la

recta

que

corresponde

a

la

ecuación

-4x + 11
-4x + 5
4x +5
x+1
4x +1

¿Cuál(es) puede(n) ser una expresión vectorial de la recta y = 2x – 6?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)

6.

El vector dirección es (5, 3).
El vector posición corresponde a (2, -2).
3
16
La ecuación y = x 
, corresponde a la ecuación principal de la recta.
5
5

La ecuación principal
r(t) = (2 – t, 3 + 4t) es
A)
B)
C)
D)
E)

x  2
y+2
, entonces ¿cuál(es) de
=
5
3

x  3
y
=
1
2
x  1...