Macanismos

(8) Fórmula de Euler
(8) Fórmula de Euler

¿Cómo llegó Euler a esta fórmula? (Series de potencias ...)
¿Cómo llegó Euler a esta fórmula? (Series depotencias ...)



Razones trigonométricas del ángulo mitad
Sabemos que cos2x = cos2xsen2x = 2cos2x 1 = 1sen2x y despejando el sen2x y el cos2x,obtenemos:

cos2x= | 1+cos(2x) 2 | |
|
y

sen2x= | 1cos(2x) 2 | |
|
Si hacemos 2x=t, tendremos:

|
y el signo que le asignaremosdependerá del cuadrante donde se encuentre t/2.
Análogamente:

|
Veamos la fórmula de la tangente del ángulo mitad, para obtenerla basta aplicar las dosanteriores:

|
Ejemplo 1 Calcula la tg(15o)
Solución.- Como 15o pertenece al primer cuadrante su signo será +.

Ejercicio.- Halla las razonestrigonométricas de 22º 30'. Solución
Seno de la suma de dos ángulos
Sean a y b ángulos del primer cuadrante, vamos a ver que:sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)
La restricción no quita generalidad a la fórmula pues siempre podemos reducir los ángulos del segundo, tercer y cuarto cuadrante al primero.

El áreade los triángulos T, P y Q valen:
T=1/2 h h1 sen(a+b)
P=1/2 h m sen(a)
Q=1/2 h1 m sen(b)
pero observemos que:
m = h1cos(b)
m = h cos(a)
quesustituyendo en P y Q respectivamente, nos da:
P=1/2 h h1 sen(a) cos(b)
Q=1/2 h h1 sen(b) cos (a)
además sabemos que el área de T es igual al área de P más elárea de Q, por tanto:
1/2 h h1 sen(a+b) = 1/2 h h1 sen(a) cos(b) + 1/2 h h1 sen(b) cos(a)
de donde:
 
sen(a+b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a) |