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EXPONENTES Y RADICALES
La potenciación o notación exponencial es una notación para abreviar una multiplicación:
Notación: a n = a4 L a , para n un entero positivo y a ≠ 0 .
⋅ 23
1a 4
n veces

Se lee como a elevado a la n o más abreviado: a a la n.
a es llamada la base y n el exponente o potencia e indica el número de veces que se repite el factor a.
Presentamos a continuación variosejemplos ilustrativos
Ejemplo 1.a) 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
b) (−5) 3 = (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) = −125

1
3

5

c)   =

1 1 1 1 1
1
1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
=
3 3 3 3 3 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 243

4

1
1
 1
 1  1  1  1
=
d)  −  =  −  ⋅  −  ⋅  −  ⋅  −  =
 2
 2   2   2   2  2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 16
2
e) (a + b) = (a + b) ⋅ (a + b)
Observaciones:
1.- Si a negativoentonces a n es positivo si n es par y negativo si n es impar, como podemos
apreciar en el ejemplo anterior en b y d.
2.- Una expresión como 2 ⋅ x n o simplemente 2 x n es una escritura abreviada de 2 ⋅ ( x n ) , donde se
puede analizar que la convención es que primero se hace la potencia y luego la multiplicación por 2.
De manera similar − x n representa a − ( x n ) y − 2 ⋅ x n quiere decir (−2)⋅ ( x n )
3.- − x n ≠ (− x) n
Convención: La potencia es la primera operación que se ejecuta frente a multiplicaciones, divisiones,
sumas o restas o cambio de signo.
Ejemplo 2.- Evaluar a) 2 ⋅ 33 ; b) − 2 3 ; c) 3 ⋅ (−4) 3 ;
Solución:
a) 2 ⋅ 33 = 2 ⋅ 27 = 54
b) − 2 3 = −(2 3 ) = −8
c) 3 ⋅ (−4) 3 = 3 ⋅ (−4) ⋅ (−4) ⋅ (−4) = 3 ⋅ (−64) = −192

APLICACIÓN EN ECONOMÍA
Ejemplo 1.- Una compañíapretende aumentar su producción en los próximos 4 años, duplicando la
producción con respecto al año anterior. ¿Cuál será su producción anual dentro de 4 años, si la actual es
de 2500 artículos por año?
Solución:
Observe que después de un año la producción es 2 ⋅ 2500
A los dos años se tendrá el doble del primer año 2(2 ⋅ 2500)

2
A los tres años se tendrá el doble del segundo año 2(2 2 ⋅2500) = 2 3 ⋅ 2500
A los cuatro años se tendrá el doble del tercer año 2(2 3 ⋅ 2500) = 2 4 ⋅ 2500 = 40000 artículos

APLICACIÓN EN CIENCIAS SOCIALES
Ejemplo 1.- Suponga que una sustancia radioactiva tarda 1 semana en desintegrarse la mitad de la
cantidad inicial. Si se tiene 44gramos de una sustancia radiactiva ¿Cuánto quedará a las 4 semanas?

1
⋅ 50 gramos
2
2
11
 1
A las dossemanas queda la mitad de la primera semana:  ⋅ 44  =   ⋅ 44
22
 2
Solución: Observe que después de una semana queda

2
  1 3
1  1 
A la tercera semana queda la mitad de la segunda semana    44  =   ⋅ 44 gramos
 2
2  2 


3
4

1  1 
1
Así en la cuarta semana queda    ⋅ 44  = 44 ⋅   gramos
 2 

2
 2


DEFINICION DE EXPONENTESNEGATIVOS Y CERO
Los casos exponentes negativos o cero se definen como:
Definición: Si a ≠ 0 se define

a0 = 1
y si n un entero positivo

a −n =

1
.
an

0 0 no está definido
Ejemplo 1.-

1 1
= ;
23 8
b) 2 0 = 1 ;
a) 2 −3 =

c) ( 3 ) 0 = 1 ;
d) ( x + 2) − n =

1
;
( x + 2) n

e) (2 x 2 ) 0 = 1 .
Ejercicio de desarrollo.- Complete la igualdad
a) (3π ) 0 =
b) (x 2 + 1)−2 =

3

PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES
En la siguiente tabla se presentan las propiedades más importantes de exponentes
Propiedad

Ejemplo

1

a ⋅a = a

2

(a ) = a

3

(a ⋅ b )n

4

an
a
= n
 
b
b
n
1
a
= m−n
m
a
a
n
a
= a n−m
m
a

n

m

n+ m

Justificación sólo para el caso n natural

2 ⋅2 = 2
3

4

2+ 4

=2

6

a n ⋅ a m = (a ⋅a L a ) ⋅ (a L a ) = a ⋅ 4 2⋅ a L a = a n + m
aLa
3
1 24 123 1 4 44
4 3
n veces

n m

n⋅ m

(2 ) = 2
2 4

2⋅4

=2

8

m

n

n

n + m veces

m veces

(a ) = a 4243⋅ = a
1 ⋅a La
n

n

n + n +Ln

= a n⋅m

m veces

5
6

(2 ⋅ b )

3

= an ⋅ bn

2

n

22
4
2
= 2 =
 
25
5
5
3
3
1
1
= 5−3 =
5
9
3
3
5
3
= 35−3 = 9
3
3...