Macro

Apuntes de A. Cabañó.
Matemáticas II

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES.
TEORÍA
- ESQUEMA A SEGUIR EN LA REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES.
Para dibujar la curva (C) de la función f:x->y=f(x) se estudiará sucesivamente los siguientes puntos:
* Dominio (D) de la función o campo de existencia.
Conjunto de valores de x para los cuales existe f(x) y es real. Nos podremos encontrar los siguientescasos:
a) Función polinómica: definida para todo valor real
b) Función racional: cociente de dos funciones polinómicas , existe para todo valor de x que no anule el
denominador.
c) Función irracional: y = n f(x)
- n impar: tiene el mismo dominio que f(x).
- n par: existe sólo para aquellos valores en los f(x) existe y es positiva o nula.
f(x)
existe en los puntos donde exista f(x).
d)Función exponencial: y = a

e) Función logarítmica: y = loga f(x) existe sólo para los valores de x que hacen f(x)>0.
f) Funciones seno y coseno: y = senf(x), y = cosf(x) existe para los mismos valores que f(x).
* Simetrías.
f(-x)=f(x)
Eje de simetría OY.
a) Función par:
f(-x)=-f(x)
Centro de simetría el origen.
b) Función impar:
Para comprobar que una curva no tiene simetrías (la funciónno es par ni impar) basta ver que, siendo a
un punto cualquiera del dominio d, se tiene que f(-a) ≠ f(a) y f(-a) ≠ -f(a) .
* Puntos de corte con los ejes.
a) Corte con el eje OX f(x)=0
b) Corte con el eje OY f(0)=y

Las abscisas de los puntos de corte son las raíces de esta ecuación.

* Asíntotas.
Se dice que una curva tiene ramas infinitas si existen puntos de la curva cuya distancia alorigen de
coordenadas es mayor que cualquier número prefijado.
Si una curva tiene ramas infinitas, la recta (si existe) a la cual se aproxima la curva cada vez más sin
llegar a tocarla, se llama asíntota. Si la curva no tiene asíntotas, se dice que la curva tiene rama
parabólica.
a) Asíntota vertical o paralelas al eje OY.
Son de la forma x=u siendo u los valores finitos de x que hacen elsiguiente límite ∞

lim f(x) = ±∞
x →u

(u = a, a+ , a- )

Es conveniente estudiar la posición de la curva respecto de la asíntota vertical, para ello se realizarán los
límites laterales
b) Asíntota horizontal o paralela al eje OX.
f(x) = k
Son de la forma y=k siendo k

lim
x → ±∞

Es muy conveniente estudiar la posición de la curva respecto de la asíntota, bastará hallar el signode
f(x)-k para x->+∞ y x->-∞.
Si f(x)-k es positivo la curva estará por encima de la asíntota y si es negativo estará por debajo.

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Representación gráfica de funciones

Apuntes de A. Cabañó.
Matemáticas II

c) Asíntota oblicua

f(x)

m, n ∈ ℜ
 m = lim x
x → ±∞
Son de la forma y=mx+n 
n = lim [f(x) - mx] m ≠ 0
x → ±∞

d) Ramas parabólicas.
Se estudian solamente si

limf(x) = ∞
x →+∞

- Si

lim
x →∞

- Si

lim
x →∞

- Si

lim
x →∞

ó

lim f(x) = ∞
x →- ∞

f(x)
= ∞ la curva tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY.
x
f(x)
= 0 la curva tiene una rama parabólica en la dirección del eje OX.
x
f(x)
= m ≠ 0 y lim [f(x) - mx] = ∞ la curva tiene una rama parabólica en la dirección de
x
x →∞

la recta y=mx
* Monotonía.Para hallar los máximos y los mínimos se obtienen las raíces de la ecuación f'(x)=0, y los puntos en los
que no existe f'(x). Tendremos así los posibles puntos donde la función puede tener máximos y mínimos.
Dichos puntos son también los posibles extremos de los intervalos en los que la función es creciente o
decreciente.
Si a es una raíz de f'(x)=0, en el punto (a,f(a)) la curva tendrá un máximoo mínimo, o un punto de
inflexión con tangente horizontal según sea par o impar la primera derivada no nula de orden mayor o
igual que dos.
f'>0
a) Intervalos de crecimiento
f' 0 si x → + ∞ (curva por encima).
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

• Asíntota oblicua: y =

f ' (x ) =

( 2 x + 2) ( x − 1) − ( x 2 + 2 x − 2) 2 x 2 − 2 x + 2 x − 2 − x 2 − 2 x + 2 x 2 − 2 x...