Macroeconomia Ii

Macroeconomía Optimización y Dinero
Francisco Leiva

Recordando…
• Como  se  maximiza  una  función  de  utilidad  sujeta  a  una restricción de presupuesto. – El  problema  a  resolver  (cuando  solo  existen  dos  bienes) es el siguiente:

{ x1 , x2 }

max U = u ( x1 , x2 ) s.a. I = x1 ⋅ p1 + x2 ⋅ p2

Recordando…
• La  idea  del  problema  es  el  siguiente.  Se  tiene  una función  de  utilidad,  la  cual  solo  depende  de  la  cantidad que se tenga se los dos bienes existentes. • Esta utilidad se quiere maximizar esta función sujeto  a la restricción de gastar  todo  su  ingreso  (el  cual  es  exógeno),  esto  se  debe  a  (i)  que  no  existen  otros  bienes;  y  (ii)  no  existen  más  periodos,  lo  lógico  es  gastar  todo.  No  tiene  sentido  ahorrar  cuando  no existe futuro, tampoco se puede destinar el ingreso a  otros bienes, si no hay más que dos bienes.

Recordando…
• Este problema se puede plantear según un problema  de Lagrange de la siguiente forma:

£ = u ( x1 , x2 ) + λ [I − x1 ⋅ p1 − x2 ⋅ p2 ]

Recordando…
• De la cual se obtienen las tres siguientes condiciones  de primer orden:

∂£ = 0 ⇔ UMg1 − λp1 = 0 ∂x1 ∂£ = 0 ⇔ UMg 2 − λp2 =0 ∂x2 ∂£ = 0 ⇔ I − x1 ⋅ p1 − x2 ⋅ p2 = 0 ∂λ

Donde:

∂U = UMg i = U i' ∀i ∂xi

Recordando…
• De  las  dos  primeras  ecuaciones  se  obtiene  la  siguiente  condición de óptimo:

UMg1 p1 = UMg 2 p2
• Esto en conjunto con la tercera ecuación:

I − x1 ⋅ p1 − x2 ⋅ p2 = 0
• Son  las  necesarias  para  encontrar  las  cantidades  óptimas  de  cada bien para maximizar la utilidad.Recordando…
• Veamos un ejemplo. Si la función de utilidad fuera:
1 U = x1 / 2 x1/ 2 2

• El  problema  de  Lagrange quedaría  planteado  de  la  siguiente forma:

£=x x

1/ 2 1/ 2 1 2

+ λ [I − x1 ⋅ p1 − x2 ⋅ p2 ]

Recordando…
• Del  cual  se  derivan  las  siguientes  condiciones  de  primer orden:

∂£ 1 −1/ 2 1/ 2 = x1 x2 − λp1 = 0 ∂x1 2 ∂£ 1 1/ 2 −1/ 2 = x1 x2 − λp2 = 0 ∂x2 2 ∂£ =I − x1 ⋅ p1 − x2 ⋅ p2 = 0 ∂λ

Recordando…
• De lo que finalmente se obtiene:

x2 p1 = x1 p2
• Lo cual puede expresarse de la siguiente forma

x1 ⋅ p1 x2 = p2

Recordando…
• Juntando esto con la tercera ecuación, tenemos:

I − x1 ⋅ p1 − x2 ⋅ p2 = 0 ⎛ x1 ⋅ p1 ⎞ ⎟ ⋅ p2 = 0 I − x1 ⋅ p1 − ⎜ ⎜ p ⎟ ⎝ 2 ⎠ I − 2 x1 ⋅ p1 = 0 I ⇒x = 2 p1
* 1

I ⇒x = 2 p2
* 2

Optimizando con 2 Periodos• Cuando  se  tienen  dos  periodos,  tradicionalmente  (aunque no exclusivamente) se utiliza una función de  utilidad de la siguiente forma:

⎛ 1 ⎞ U = u (c1 ) + ⎜ ⎜ 1 + ρ ⎟u (c2 ) ⎟ ⎝ ⎠
• Donde  ρ representa  un  parametro de  preferencia  temporal.  En  la  medida  ρ que  crece,  se  dice  que  prefiere mas el tiempo presente.

Optimizando con 2 Periodos
•En este caso, existe dos restricciones:

Y1 = c1 + s

c2 = Y2 + s (1 + r )

• Las cuales pueden juntarse en una sola:

Y2 c2 = c1 + Y1 + 1+ r 1+ r

Optimizando con 2 Periodos
• Así,  el  problema  de  maximización  de  utilidad  se  puede  plantear  según  Lagrange de  la  siguiente  forma:

⎛ 1 ⎞ c2 ⎤ Y2 ⎡ £ = u (c1 ) + ⎜ ⎟ ⎜ 1 + ρ ⎟u (c2 ) + λ ⎢Y1 + 1 + r − c1 − 1 + r ⎥ ⎣ ⎦ ⎠ ⎝

Optimizando con 2 Periodos
•Donde las condiciones de primer orden son:

∂£ = u ' (c1 ) − λ = 0 ∂c1

⎫ ⎪ ⎪ u ' (c1 ) (1 + ρ ) = 1 + r ⎬ ∂£ u ' (c2 ) 1 ⎪ u ' (c2 ) = −λ =0 ⎪ ∂c2 1 + ρ 1+ r ⎭ Y2 c2 ∂£ = Y1 + − c1 − =0 ∂λ 1+ r 1+ r

Optimizando con 2 Periodos
• Con  estas  dos  ecuaciones  se  pueden,  finalmente,  encontrar  las  canastas  intertemporales que  maximizan la utilidad del agente. •Veamos un ejemplo, si la función de utilidad fuera la  siguiente:

⎛ 1 ⎞ U = ln (c1 ) + ⎜ ⎟ ⎜ 1 + ρ ⎟ ln (c2 ) ⎠ ⎝

Optimizando con 2 Periodos
• Tomando  directamente  la  condición  de  óptimo  encontrada en el caso genérico tenemos:

u ' (c1 ) c2 1 + r (1 + ρ ) = 1 + r ≡ = u ' (c2 ) c1 1 + ρ
• Esta  condición  puede  escribirse  de  la  siguiente  forma:

1+ r c2 = c1 1+ ρ

Optimizando con 2 Periodos...