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Límites y continuidad




Los conceptos de límite y continuidad son la piedra clave sobre la que se sustenta la bóveda del Análisis Matemático.

Una función es algo que casi siempre puede asociarse a una gráfica, es decir, a un dibujo en el que hay un par de ejes perpendiculares sobre los que aparece representada algún tipo de línea. Cuando dicha línea presenta un trazo continuo hablamosde una función continuay, en caso contrario, de una función que no es continua. Esta es probablemente la definición más intuitiva que se puede dar de continuidad de una función: una función continua es aquélla que se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Como sería el caso de la función:
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Según este mismo criterio, no sería continua la función:
[pic]
Matemáticamente hablando, loque hemos dado no es ni siquiera una definición. Es más, si tenemos en cuenta que un punto es una figura que carece de dimensiones, podríamos tener problemas para decidir si una función a la que sólo le falta un punto es o no es continua. Y es que el concepto de continuidad requiere previamente haber establecido el de límite de una función en un punto, un concepto altamente preciso y de difícilcomprensión. Si existe una frontera entre las Matemáticas Elementales y las Superiores, la definición delímite funcional se encuentra sin duda alguna dentro de su demarcación. Sin embargo, esto no quita que se pueda dar una idea intuitiva, aunque sea a costa de algunas imprecisiones matemáticas, algo que vamos a intentar de forma gráfica, pero para lo que vamos a necesitar concretar, aunque sea deforma visual, algunos conceptos, el primero de los cuales es el de función.

¿Qué es una función?

Insistimos una vez más en que aquí no estamos dando definiciones que se ciñan a un rigor matemático, sino conceptos puramente intuitivos. Y dentro de este marco, una función se puede entender como un mecanismo que nos permite obtener un conjunto de números a partir de otro conjunto de números.Analíticamente, esto se hace mediante una fórmula. Por ejemplo, si la función es
f(x) = x + 2
obtener la imagen de un número cualquiera significa poner un número allí donde hay una x.
f(2) = 2 + 2 = 4
f(3 = 3 + 2 = 5
f(-2) = -2 + 2 = 0
En general, las funciones admiten una representación en un sistema de ejes rectangulares. En el ejemplo anterior, la representación es una recta. Esto nos permiteobtener la imagen de un punto de manera gráfica. Para ello basta con levantar una perpendicular al eje X desde el punto en cuestión y, en el punto en donde corta a la gráfica de la función, una paralela a dicho eje. El punto en donde corta esta paralela al eje Y es la imagen buscada. De esta forma vemos cómo la imagen del dos es el cuatro y la imagen del tres es el cinco (las líneas de puntos sonel camino a seguir). Cuando la gráfica corta al eje X la imagen que se corresponde con el punto de intersección es siempre cero.
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Otro ejemplo: en la función
g(x) = x3
obtener la imagen del número dos es algo tan sencillo como multiplicar dos por sí mismo tres veces:
f(2) = 23 = 2·2·2 = 8.
Puede obtener diferentes imágenes con una regla a base de trazar verticales y horizontales, tal ycomo hemos explicado antes.
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Es muy importante tener en cuenta que un punto cualquiera del eje X sólo puede tener una imagen en el eje Y. Esta es una condición necesaria para que se trate realmente de una función. En una gráfica del tipo
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se da la circunstancia de que el punto a tiene tres imágenes, por lo que con seguridad no se trata de ninguna función.







IntervalosConsideremos la recta real, es decir, una recta en la que cada punto es un número real, en la que hemos definido un origen como punto representativo del número cero, de manera que a la derecha de dicho punto se encuentran representados todos los números reales positivos y a la izquierda todos los negativos. Por definición, un intervalo abierto de extremos a y b, que se representa como (a, b),...