Maematicas

Cálculo diferencial

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Cálculo diferencial
El cálculo diferencial, un campo de las matemáticas, es el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial. La derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual unafunción cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de en cada punto . Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en el punto dado; dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante que pase por dos puntos muy cercanos alpunto bajo el que se desea obtener la tangente. Las derivadas también pueden ser utilizadas para calcular la concavidad. Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual tiene una pendiente infinita), una discontinuidad o bien un pico. La inversa de una derivada se llama primitiva, antiderivada o integral indefinida.

Diferenciación y diferenciabilidadLa Diferenciación puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, si está determinada una relación matemática entre dos objetos. Una función es diferenciable en un punto si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto perteneciente al intervalo. Si una función no es continua en c, entonces no puede serdiferenciable en c; sin embargo, aunque una función sea continua en c, puede no ser diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto C es continua en C, pero no toda función continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).

Derivadas de orden superior
La derivada de una función diferenciable puede a su vez ser diferenciable,hablándose entonces de segunda derivada de la función diferenciable como la derivada de la derivada de ésta. Análogamente, la derivada de la segunda derivada recibe el nombre de tercera derivada, y así sucesivamente. La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de en el punto , se escribe: para la primera derivada, para la segundaderivada, para la tercera derivada, para la enésima derivada ( Para la función derivada de derivada de se escribe ).

, se escribe . De modo parecido, para la segunda , y así sucesivamente.

Cálculo diferencial

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Cociente diferencial de Newton
Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente. Es difícil hallardirectamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente. Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeñoque llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos y es

Esta expresión es un cociente diferencial de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:

Si la derivada de f existe en cada punto x, podemos definir laderivada de f como la función cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x. Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado una división por cero, calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo. Una técnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada. Esto resulta muy sencillo con funciones polinómicas, pero para la mayoría...