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Páginas: 387 (96646 palabras) Publicado: 28 de agosto de 2014
ANÁLISIS MATEMÁTICO
(40008) y (40015)

RESUMEN DE TEORÍA
Y ENUNCIADOS DE LOS EJERCICIOS

GRADO DE MATEMÁTICAS (394)

Luis A. Tristán Vega
D PTO .

DE

Á LGEBRA , A NÁLISIS M ATEMÁTICO , G EOMETRÍA

Y

T OPOLOGÍA

40008
V ERSIÓN R EVISADA

Y

VALLADOLID , M AYO

C ORREGIDA
DE

2013
A
LTV

40015
2 A . E DICIÓN

DEL

T EMARIO A MPLIADO

VALLADOLID , F EBRERODE

2013
A
LTV

Última compilación: 3 de junio de 2014
Incluye fe de erratas de la edición de septiemA
bre de 2013
LTV

Ilustración de portada: edición original en latín
de la obra “Introductio in Analysin Infinitorum”
de Leonhard Euler, del año 1748 (cita [56] de la
bibliografía).

Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous
Leed a Euler, leed a Euler, él es el maestrode todos nosotros
(Pierre Simon Laplace)

Contenido
Prólogo a Análisis Matemático

V

Prólogo a Ampliación de Análisis Matemático

VII

1. Espacios euclídeos
1.1. Topología de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Límites iterados . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.1. Aplicaciones lineales y bilineales . . . .
1.4. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Comentarios sobre espacios normados
1.5. Conexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1
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9
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2. Cálculo diferencial
2.1. Derivabilidad y diferenciabilidad
2.2. Derivadas de orden superior . .
2.3. Fórmula de Taylor . . . . . . . .
2.4. Extremos relativos . . . . . . . .
2.4.1. Formas cuadráticas . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Aplicaciones diferenciables
3.1. Aplicaciones contractivas. Teorema del punto fijo . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Notas sobre la demostración del teorema de las funciones inversas .
3.2.2. Cambios de variables. Aplicación a las ecuaciones diferenciales . . .
3.3. Funcionesimplícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Teoremas de rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. Sucesiones yseries funcionales
4.1. Sucesiones de funciones. Modos de convergencia . . . . . . . . . . . . .
4.2. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Sucesiones y series de funciones de variable real . . . . . . . . . . . . .
4.4. Aproximación de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1. Comentarios sobre la generalización del teorema...
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