maematicas
(40008) y (40015)
RESUMEN DE TEORÍA
Y ENUNCIADOS DE LOS EJERCICIOS
GRADO DE MATEMÁTICAS (394)
Luis A. Tristán Vega
D PTO .
DE
Á LGEBRA , A NÁLISIS M ATEMÁTICO , G EOMETRÍA
Y
T OPOLOGÍA
40008
V ERSIÓN R EVISADA
Y
VALLADOLID , M AYO
C ORREGIDA
DE
2013
A
LTV
40015
2 A . E DICIÓN
DEL
T EMARIO A MPLIADO
VALLADOLID , F EBRERODE
2013
A
LTV
Última compilación: 3 de junio de 2014
Incluye fe de erratas de la edición de septiemA
bre de 2013
LTV
Ilustración de portada: edición original en latín
de la obra “Introductio in Analysin Infinitorum”
de Leonhard Euler, del año 1748 (cita [56] de la
bibliografía).
Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous
Leed a Euler, leed a Euler, él es el maestrode todos nosotros
(Pierre Simon Laplace)
Contenido
Prólogo a Análisis Matemático
V
Prólogo a Ampliación de Análisis Matemático
VII
1. Espacios euclídeos
1.1. Topología de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Límites iterados . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.1. Aplicaciones lineales y bilineales . . . .
1.4. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Comentarios sobre espacios normados
1.5. Conexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9
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2. Cálculo diferencial
2.1. Derivabilidad y diferenciabilidad
2.2. Derivadas de orden superior . .
2.3. Fórmula de Taylor . . . . . . . .
2.4. Extremos relativos . . . . . . . .
2.4.1. Formas cuadráticas . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Aplicaciones diferenciables
3.1. Aplicaciones contractivas. Teorema del punto fijo . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Notas sobre la demostración del teorema de las funciones inversas .
3.2.2. Cambios de variables. Aplicación a las ecuaciones diferenciales . . .
3.3. Funcionesimplícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Teoremas de rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Sucesiones yseries funcionales
4.1. Sucesiones de funciones. Modos de convergencia . . . . . . . . . . . . .
4.2. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Sucesiones y series de funciones de variable real . . . . . . . . . . . . .
4.4. Aproximación de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1. Comentarios sobre la generalización del teorema...
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